数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 2^n$ (n=1, 2, 3, ...) で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題。ただし、解答の形式は $a_n = \boxed{24}^n - \boxed{25}^{n-1}$ および $S_n = \frac{\boxed{26}^{n+1}}{\boxed{27}} - \boxed{28}^n - \frac{\boxed{29}}{\boxed{30}}$ という形になる。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 2^n$ (n=1, 2, 3, ...) で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題。ただし、解答の形式は $a_n = \boxed{24}^n - \boxed{25}^{n-1}$ および $S_n = \frac{\boxed{26}^{n+1}}{\boxed{27}} - \boxed{28}^n - \frac{\boxed{29}}{\boxed{30}}$ という形になる。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

まず、漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 2^n$ の両辺を $4^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{4a_n}{4^{n+1}} + \frac{2^n}{4^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{4^n} + \frac{1}{2^{n+2}}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{4^n}$ とおくと、漸化式は

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2^{n+2}}$

となる。これは階差数列なので、$n \ge 2$ のとき

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k+2}}$

$b_1 = \frac{a_1}{4^1} = \frac{3}{4}$ であるから、

$b_n = \frac{3}{4} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^{k+2}} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{2})^k$

$\sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{2})^k = \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n-1})}{1-\frac{1}{2}} = 1 - (\frac{1}{2})^{n-1}$

したがって、

$b_n = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} (1 - (\frac{1}{2})^{n-1}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2})^{n-1} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}}$

$a_n = 4^n b_n = 4^n (1 - \frac{1}{2^{n+1}}) = 4^n - \frac{4^n}{2^{n+1}} = 4^n - \frac{2^{2n}}{2^{n+1}} = 4^n - 2^{n-1}$

これは $n=1$ のときも $a_1 = 4 - 1 = 3$ で成立する。よって、

$a_n = 4^n - 2^{n-1}$

(2) 和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4^k - 2^{k-1}) = \sum_{k=1}^n 4^k - \sum_{k=1}^n 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^n 4^k = \frac{4(4^n - 1)}{4-1} = \frac{4}{3} (4^n - 1) = \frac{4^{n+1} - 4}{3}$

$\sum_{k=1}^n 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

$S_n = \frac{4^{n+1} - 4}{3} - (2^n - 1) = \frac{4^{n+1}}{3} - \frac{4}{3} - 2^n + 1 = \frac{4^{n+1}}{3} - 2^n - \frac{1}{3}$

$S_n = \frac{4^{n+1}}{3} - 2^n - \frac{1}{3}$

書き換えると $S_n = \frac{4^{n+1}}{3} - 2^n - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} 4^n - 2^n - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}(2^2)^n - 2^n - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}(2^n)^2 - 2^n - \frac{1}{3}$

$S_n = \frac{4^{n+1}}{3} - 2^n - \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = 4^n - 2^{n-1}$

$S_n = \frac{4^{n+1}}{3} - 2^n - \frac{1}{3}$

したがって、

24: 4, 25: 2, 26: 4, 27: 3, 28: 2, 29: 1, 30: 3

$a_n = 4^n - 2^{n-1}$

$S_n = \frac{4^{n+1}}{3} - 2^n - \frac{1}{3}$