問題9では、$ \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} $ を、以下の3つの場合について簡単にします。 (1) $ a \geq 3 $ (2) $ 1 \leq a < 3 $ (3) $ a < 1 $ 問題10では、以下の4つの二重根号を外して簡単にします。 (1) $ \sqrt{11+2\sqrt{30}} $ (2) $ \sqrt{9-2\sqrt{14}} $ (3) $ \sqrt{10-\sqrt{84}} $ (4) $ \sqrt{6+\sqrt{35}} $

代数学根号絶対値二重根号式の計算
2025/7/3

1. 問題の内容

問題9では、(a1)2+(a3)2 \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} を、以下の3つの場合について簡単にします。
(1) a3 a \geq 3
(2) 1a<3 1 \leq a < 3
(3) a<1 a < 1
問題10では、以下の4つの二重根号を外して簡単にします。
(1) 11+230 \sqrt{11+2\sqrt{30}}
(2) 9214 \sqrt{9-2\sqrt{14}}
(3) 1084 \sqrt{10-\sqrt{84}}
(4) 6+35 \sqrt{6+\sqrt{35}}

2. 解き方の手順

問題9:
x2=x \sqrt{x^2} = |x| であることを利用します。
(1) a3 a \geq 3 のとき、a10 a-1 \geq 0 かつ a30 a-3 \geq 0 なので、
(a1)2+(a3)2=a1+a3=(a1)+(a3)=2a4 \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = |a-1| + |a-3| = (a-1) + (a-3) = 2a - 4
(2) 1a<3 1 \leq a < 3 のとき、a10 a-1 \geq 0 かつ a3<0 a-3 < 0 なので、
(a1)2+(a3)2=a1+a3=(a1)+((a3))=(a1)+(3a)=2 \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = |a-1| + |a-3| = (a-1) + (-(a-3)) = (a-1) + (3-a) = 2
(3) a<1 a < 1 のとき、a1<0 a-1 < 0 かつ a3<0 a-3 < 0 なので、
(a1)2+(a3)2=a1+a3=(a1)+((a3))=(1a)+(3a)=42a \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2} = |a-1| + |a-3| = -(a-1) + (-(a-3)) = (1-a) + (3-a) = 4 - 2a
問題10:
二重根号 a±b \sqrt{a \pm \sqrt{b}} を外すには、a±2c a \pm 2\sqrt{c} の形に変形し、a=x+y a = x+y c=xy c = xy となる x x y y を見つけ、a±2c=x±y \sqrt{a \pm 2\sqrt{c}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} とします。
(1) 11+230 \sqrt{11+2\sqrt{30}}
30=5×6 30 = 5 \times 6 5+6=11 5+6 = 11 なので、
11+230=5+6 \sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{5} + \sqrt{6}
(2) 9214 \sqrt{9-2\sqrt{14}}
14=2×7 14 = 2 \times 7 2+7=9 2+7 = 9 なので、
9214=72 \sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}
(3) 1084=10221 \sqrt{10-\sqrt{84}} = \sqrt{10-2\sqrt{21}}
21=3×7 21 = 3 \times 7 3+7=10 3+7 = 10 なので、
10221=73 \sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}
(4) 6+35=6+2354 \sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{6+2\sqrt{\frac{35}{4}}}
これは少し難しいですが、6=52+72 6 = \frac{5}{2} + \frac{7}{2} 354=52×72 \frac{35}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{7}{2} なので、
6+35=52+72=102+142=10+142 \sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14}}{2}

3. 最終的な答え

問題9:
(1) 2a4 2a-4
(2) 2 2
(3) 42a 4-2a
問題10:
(1) 6+5 \sqrt{6}+\sqrt{5}
(2) 72 \sqrt{7}-\sqrt{2}
(3) 73 \sqrt{7}-\sqrt{3}
(4) 10+142 \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14}}{2}

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