行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。2つの問題があります。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。2つの問題があります。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列方程式 $AX = B$ を解くには、拡大行列 $[A|B]$ を行基本変形して $[I|X]$ の形にする。ここで、$I$ は単位行列である。

もし $A$ が正則でない（逆行列を持たない）場合、解は存在しないか、無限に存在する。

(1) 拡大行列 $[A|B]$ を作る。

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & | & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & | & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

2行目から1行目の2倍を引く。3行目から1行目の3倍を引く。

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & -3 & -1 \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

2行目を-1/2倍する。

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & 3/2 & 1/2 \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

1行目から2行目の2倍を引く。3行目に2行目の3倍を足す。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & 3/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 & | & -1/2 & 5/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$

3行目を2倍する。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & 3/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}$$

2行目から3行目の1/2倍を引く。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}$$

したがって、$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}$

(2) 拡大行列 $[A|B]$ を作る。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & | & -1 & -4 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & | & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

3行目から1行目を引く。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & | & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & | & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$

2行目を1/2倍する。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -1/2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & | & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$

3行目から2行目を引く。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -1/2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

3行目が $0 = 1/2$ を意味するため、解は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}$

(2) 解なし