与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2+2x-y^2-4y-3$ (2) $3x^2+4xy+y^2+9x+5y+6$ (3) $2x^2-8xy+6y^2+7x-y-15$ (4) $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+2x-y^2-4y-3$

(2) $3x^2+4xy+y^2+9x+5y+6$

(3) $2x^2-8xy+6y^2+7x-y-15$

(4) $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+2x-y^2-4y-3$ を因数分解します。

$x$ の項と定数項、そして $y$ の項をそれぞれまとめて考えます。

$x^2+2x-y^2-4y-3 = (x^2+2x+1) - (y^2+4y+4) = (x+1)^2 - (y+2)^2$

ここで、差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を適用します。

$(x+1)^2 - (y+2)^2 = (x+1+y+2)(x+1-y-2) = (x+y+3)(x-y-1)$

(2) $3x^2+4xy+y^2+9x+5y+6$ を因数分解します。

$x$ について整理すると、$3x^2 + (4y+9)x + (y^2+5y+6)$ となります。

定数項を因数分解すると、$(y^2+5y+6) = (y+2)(y+3)$ となります。

与式を $3x^2 + (4y+9)x + (y+2)(y+3)$ と書き換え、たすき掛けを使って因数分解を試みます。

$(3x+y+2)(x+y+3)$ とすると、$3x^2 + 3xy + 9x + xy + y^2 + 3y + 2x + 2y + 6 = 3x^2 + 4xy + y^2 + 11x + 5y + 6$

係数が合いません。

$(3x+y+3)(x+y+2)$ とすると、$3x^2 + 3xy + 6x + xy + y^2 + 2y + 3x + 3y + 6 = 3x^2 + 4xy + y^2 + 9x + 5y + 6$

よって、$(3x+y+3)(x+y+2)$ が答えです。

(3) $2x^2-8xy+6y^2+7x-y-15$ を因数分解します。

$x$ について整理すると、$2x^2 + (7-8y)x + (6y^2-y-15)$ となります。

定数項を因数分解すると、$6y^2 - y - 15 = (2y+3)(3y-5)$ となります。

$2x^2 + (7-8y)x + (2y+3)(3y-5)$ と書き換え、たすき掛けを使って因数分解を試みます。

$(2x+3y-5)(x+2y+3)$とすると、$2x^2 + 4xy + 6x + 3xy + 6y^2 + 9y -5x - 10y - 15 = 2x^2 + 7xy + 6y^2 + x -y - 15$となり係数が合わない

$(2x+2y+3)(x+3y-5)$とすると、$2x^2+6xy-10x+2xy+6y^2-10y+3x+9y-15 = 2x^2 + 8xy + 6y^2 - 7x - y - 15$となり係数が合わない

$(2x + 3y - 5)(x - 2y + 3)$ とすると、$2x^2 -4xy +6x + 3xy -6y^2 + 9y - 5x + 10y - 15 = 2x^2 -xy -6y^2 + x+ 19y - 15$

$(2x - 3y + 5)(x - 2y - 3)$ とすると、$2x^2 -4xy -6x -3xy+6y^2+9y +5x - 10y -15 = 2x^2 -7xy +6y^2 -x -y - 15$

$(2x-3y+5)(x-2y-3)= 2x^2-4xy-6x-3xy+6y^2+9y+5x-10y-15 = 2x^2 -7xy +6y^2-x-y-15$

係数が合わないため、他の組み合わせを試す必要がありそうです。

$(2x+3y-5)(x-2y+3)$とした場合、$2x^2 - 4xy +6x +3xy - 6y^2 +9y -5x +10y -15 = 2x^2 -xy -6y^2 +x +19y -15$

$(2x-6y-5)(x+y+3) = 2x^2 + 2xy + 6x - 6xy - 6y^2 - 18y - 5x - 5y - 15 = 2x^2 -4xy - 6y^2 + x -23y -15$

(4) $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解します。

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

$a$ について整理すると、$a^2(b-c) + a(c^2-b^2) + b^2c - bc^2 = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+3)(x-y-1)$

(2) $(3x+y+3)(x+y+2)$

(3) 因数分解できません。

(4) $-(a-b)(b-c)(c-a)$