ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$、$\vec{b} = (1, 2)$ が与えられ、ベクトル $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ （$t$ は実数）と定義される。 (1) $|\vec{c}| = \sqrt{15}$ となる $t$ の値を求める。 (2) $|\vec{c}|$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$、$\vec{b} = (1, 2)$ が与えられ、ベクトル $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ （$t$ は実数）と定義される。

(1) $|\vec{c}| = \sqrt{15}$ となる $t$ の値を求める。

(2) $|\vec{c}|$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$ を成分表示する。

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (3, 1) + t(1, 2) = (3+t, 1+2t)$.

$|\vec{c}| = \sqrt{(3+t)^2 + (1+2t)^2}$ である。

$|\vec{c}| = \sqrt{15}$ より、

$\sqrt{(3+t)^2 + (1+2t)^2} = \sqrt{15}$.

両辺を2乗して、

$(3+t)^2 + (1+2t)^2 = 15$.

$9+6t+t^2 + 1+4t+4t^2 = 15$.

$5t^2 + 10t + 10 = 15$.

$5t^2 + 10t - 5 = 0$.

$t^2 + 2t - 1 = 0$.

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

(2) $|\vec{c}|$ の最小値を求める。

$|\vec{c}|^2 = (3+t)^2 + (1+2t)^2 = 5t^2 + 10t + 10$.

$|\vec{c}|^2 = 5(t^2 + 2t) + 10 = 5(t^2 + 2t + 1 - 1) + 10 = 5(t+1)^2 - 5 + 10 = 5(t+1)^2 + 5$.

$|\vec{c}|^2$ は $t=-1$ のとき最小値 5 をとる。

したがって、$\vec{c}$ の最小値は $|\vec{c}| = \sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $t = -1 \pm \sqrt{2}$

(2) $|\vec{c}|$ の最小値: $\sqrt{5}$