問題は以下の通りです。 * 9: 3次方程式 $x^3 - 27 = 0$ を解く。 * 10: -125 の3乗根を求める。 * 11: 次の方程式を解く。 * (1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ * (2) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$ * (3) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

* 9: 3次方程式 $x^3 - 27 = 0$ を解く。

* 10: -125 の3乗根を求める。

* 11: 次の方程式を解く。

* (1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

* (2) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$

* (3) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

2. 解き方の手順

* 9: $x^3 - 27 = 0$

$x^3 = 27$

$x = 3$ (実数解)

$x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$

$x^2 + 3x + 9 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

* 10: -125の3乗根を求める。

$x^3 = -125$

$x^3 + 125 = 0$

$(x+5)(x^2-5x+25)=0$

$x=-5$

$x^2-5x+25 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{5 \pm 5i\sqrt{3}}{2}$

* 11:

* (1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 5y + 4 = 0$

$(y-1)(y-4) = 0$

$y = 1, 4$

$x^2 = 1, x^2 = 4$

$x = \pm 1, \pm 2$

* (2) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 7y - 18 = 0$

$(y-9)(y+2) = 0$

$y = 9, -2$

$x^2 = 9, x^2 = -2$

$x = \pm 3, \pm i\sqrt{2}$

* (3) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

$x = 1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となるので、$x-1$ で割り切れる。

$(x-1)(x^2 - 5x + 6) = 0$

$(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

$x = 1, 2, 3$

3. 最終的な答え

* 9: $x = 3, \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

* 10: $x = -5, \frac{5 \pm 5i\sqrt{3}}{2}$

* 11:

* (1) $x = \pm 1, \pm 2$

* (2) $x = \pm 3, \pm i\sqrt{2}$

* (3) $x = 1, 2, 3$