4次正方行列 $A = (a_{ij})$ の行列式を列に関する多重線形性・退化性・交代性を用いて展開した場合、消える項を消すと項数はいくつか。また、与えられた各項がこれらの項の1つとして現れるかどうかを判定する。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A = (a_{ij})$ の行列式を列に関する多重線形性・退化性・交代性を用いて展開した場合、消える項を消すと項数はいくつか。また、与えられた各項がこれらの項の1つとして現れるかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

行列式は列に関して多重線形性、交代性を持ちます。また、同じ列ベクトルが2つ以上あると0になるという退化性を持ちます。4次正方行列の行列式を展開すると、一般には $4! = 24$ 個の項が現れます。しかし、多重線形性と退化性を考慮すると、0になる項が出てきます。

行列式を $det(A)$ と書くと、

$det(A) = \sum_{\sigma \in S_4} sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}$

ここで、$S_4$ は4次の置換群、$sgn(\sigma)$ は置換 $\sigma$ の符号です。

多重線形性とは、ある列が2つのベクトルの和で書けるとき、行列式も2つの行列式の和で書けるという性質です。

交代性とは、2つの列を交換すると行列式の符号が変わるという性質です。

退化性とは、2つの列が等しいとき、行列式は0になるという性質です。

4次正方行列の場合、$\sigma(i) = \sigma(j)$となる $i \neq j$ が存在するとき、その項は退化性により0になります。例えば、$a_{11}a_{21}a_{33}a_{44}$ のように、1列目が2回使われている項は0になります。したがって、全ての $a_{i\sigma(i)}$ において、$\sigma(i)$ が全て異なっていなければなりません。つまり、$\sigma$ は置換でなければなりません。

しかし、問題文で多重線形性と退化性のみを考慮すると書いてあるので、交代性は考慮しません。したがって置換である必要はなく、$\sigma(i)$ が重複していても構いません。退化性によって0になるものを除外して、残りの項の数を数える必要があります。

$a_{1i}a_{2j}a_{3k}a_{4l}$ という項を考えます。退化性によって0にならないためには、$i, j, k, l$ の中に同じ数字が2つ以上含まれてはいけません。$i, j, k, l$ はそれぞれ1から4のいずれかの値を取るので、$1, 2, 3, 4$から重複を許して4つ選ぶ組み合わせの総数は $4^4 = 256$ です。しかし、この中には $i, j, k, l$ の中に同じ数字が2つ以上含まれているものも含まれます。これを取り除く必要があります。

多重線形性と退化性を考えると、例えば $a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}$ は残りますが、$a_{11}a_{21}a_{33}a_{44}$ は消えます。しかし、多重線形性だけを考えると、$a_{11}a_{21}a_{33}a_{44}$ は残るので、退化性によって消える項を数える必要があります。

$a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} a_{i_3j_3} a_{i_4j_4}$ において、$j_1, j_2, j_3, j_4$ がすべて異なるときのみゼロになりません。このとき $j_1, j_2, j_3, j_4$ の並び方は $4! = 24$ 通りあります。したがって残るのは24個です。

(1) $a_{42}a_{13}a_{23}a_{32}$: 3が2回使われているので、多重線形性だけなら現れるが、退化性により消える (1)。

(2) $a_{31}a_{24}a_{12}a_{43}$: 1, 2, 3, 4 がそれぞれ1回ずつ使われているので、現れる (2)。

(3) $a_{23}a_{12}a_{31}a_{44}$: 1, 2, 3, 4 がそれぞれ1回ずつ使われているので、現れる (2)。

(4) $a_{23}a_{33}a_{41}a_{12}$: 3が2回使われているので、多重線形性だけなら現れるが、退化性により消える (1)。

3. 最終的な答え

項数は 24 個。

(1) 1

(2) 2

(3) 2

(4) 1