問題５と問題６の因数分解の問題です。 問題５ (1) $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解せよ。 (2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解せよ。 問題６ 多項式 $P(x) = 4x^3 + x + 1$ が $[2x+1]$ 内の１次式を因数にもつことを示し、多項式を有理数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

問題５と問題６の因数分解の問題です。

問題５

(1) $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解せよ。

(2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解せよ。

問題６

多項式 $P(x) = 4x^3 + x + 1$ が $[2x+1]$ 内の１次式を因数にもつことを示し、多項式を有理数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

問題５(1)

$x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解します。

まず、共通因数を見つけます。最初の2項と最後の2項でそれぞれ因数分解を試みます。

$x^2(x+2) - (x+2)$

$(x+2)$ が共通因数なので、

$(x+2)(x^2 - 1)$

さらに $x^2 - 1$ は $(x+1)(x-1)$ と因数分解できるので、

$(x+2)(x+1)(x-1)$

問題５(2)

$2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解します。

$x= -2$ を代入すると、

$2(-2)^3 + 5(-2)^2 + (-2) - 2 = -16 + 20 - 2 - 2 = 0$

よって、$x+2$ を因数に持つ。組み立て除法を用いると、

```

2 5 1 -2

-2 | -4 -2 2

----------------

2 1 -1 0

```

したがって、$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x+2)(2x^2 + x - 1)$

さらに $2x^2 + x - 1$ を因数分解すると、

$2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$

よって、

$(x+2)(2x-1)(x+1)$

問題６

$P(x) = 4x^3 + x + 1$ が $2x+1$ を因数に持つことを示すために、$P(-\frac{1}{2})$ を計算します。

$P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2}) + 1 = 4(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$

したがって、$P(x)$ は $2x+1$ を因数に持ちます。

$P(x)$ を $2x+1$ で割ります。

$P(x) = (2x+1)(ax^2+bx+c)$の形になるはず。

$P(x)=4x^3+x+1$

$2x+1$で割る。

```

2x^2 - x + 1

----------------------

2x+1 | 4x^3 + 0x^2 + x + 1

4x^3 + 2x^2

------------------

-2x^2 + x

-2x^2 - x

-----------

2x + 1

2x + 1

-------

0

```

したがって、$4x^3 + x + 1 = (2x+1)(2x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

問題５(1) $(x+2)(x+1)(x-1)$

問題５(2) $(x+2)(2x-1)(x+1)$

問題６ $(2x+1)(2x^2 - x + 1)$