与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$\frac{2}{1\cdot3} + \frac{2}{2\cdot4} + \frac{2}{3\cdot5} + \dots + \frac{2}{n(n+2)}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$\frac{2}{1\cdot3} + \frac{2}{2\cdot4} + \frac{2}{3\cdot5} + \dots + \frac{2}{n(n+2)}$ で表されます。

2. 解き方の手順

この数列の各項は、部分分数分解を利用して変形できます。

一般項 $\frac{2}{k(k+2)}$ を部分分数分解すると以下のようになります。

$\frac{2}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $k(k+2)$ をかけると、

$2 = A(k+2) + Bk$

$k=0$ のとき、$2 = 2A$ なので、$A=1$。

$k=-2$ のとき、$2 = -2B$ なので、$B=-1$。

したがって、

$\frac{2}{k(k+2)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}$

これにより、与えられた和は以下のように書き換えられます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

この和を展開すると、多くの項が打ち消しあい、次のようになります。

$\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

この和において、$-\frac{1}{3}$は$\frac{1}{3}$と打ち消し合い、$-\frac{1}{4}$は$\frac{1}{4}$と打ち消し合う、というように多くの項が打ち消しあいます。最終的に残るのは、最初の2項と最後の2項です。

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

通分すると、

$\frac{3}{2} - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} = \frac{3(n+1)(n+2)-2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3(n^2+3n+2)-4n-6}{2(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{2(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+5n}{2(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$