関数 $y = x^2 - 2ax - a^2$ （$0 \le x \le 4$）の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - a^2$ （$0 \le x \le 4$）の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - a^2$

$y = (x - a)^2 - a^2 - a^2$

$y = (x - a)^2 - 2a^2$

この式から、放物線の頂点の座標は $(a, -2a^2)$ であることがわかります。

ここで、定義域 $0 \le x \le 4$ における最小値を考えます。

(i) $a < 0$ の場合: 頂点が定義域の左側にあるので、$x = 0$ のときに最小値をとります。

$x = 0$ を代入すると、

$y = 0^2 - 2a(0) - a^2 = -a^2$

このときの最小値は $-a^2$ となります。

(ii) $0 \le a \le 4$ の場合: 頂点が定義域内にあるので、$x = a$ のときに最小値をとります。

このときの最小値は $-2a^2$ となります。

(iii) $a > 4$ の場合: 頂点が定義域の右側にあるので、$x = 4$ のときに最小値をとります。

$x = 4$ を代入すると、

$y = 4^2 - 2a(4) - a^2 = 16 - 8a - a^2 = -(a^2 + 8a - 16) = -(a+4)^2+32$

このときの最小値は $16 - 8a - a^2$ となります。

したがって、最小値は次のようになります。

$a < 0$ のとき $-a^2$

$0 \le a \le 4$ のとき $-2a^2$

$a > 4$ のとき $16 - 8a - a^2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $-a^2$

$0 \le a \le 4$ のとき、最小値は $-2a^2$

$a > 4$ のとき、最小値は $16 - 8a - a^2$