4次正方行列 $A = (a_{ij})$ の行列式を、多重線形性、退化性、交代性を用いて定義した場合について、多重線形性のみを用いて展開した際に現れる項の数と、与えられた項がその展開に含まれるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A = (a_{ij})$ の行列式を、多重線形性、退化性、交代性を用いて定義した場合について、多重線形性のみを用いて展開した際に現れる項の数と、与えられた項がその展開に含まれるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 多重線形性のみを用いた展開について

4次正方行列の行列式を展開する場合、各行から1つの要素を選び、それらの積を計算します。各行から要素を選ぶ方法は4通りあるため、多重線形性のみを用いる場合、項の数は $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4$ となります。したがって、項数は $4^4 = 256$個です。

選択肢の中から、$4^4$ を選びます。

(2) 各項が展開に含まれるかどうかの判定

行列式の展開項は、$a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4}$ という形で表され、$\{j_1, j_2, j_3, j_4\}$ は $\{1, 2, 3, 4\}$ の順列である必要があります。つまり、各行・各列から一つずつ要素を選んでいる必要があります。与えられた各項について、この条件を満たすかどうかを確認します。

(1) $a_{22}a_{14}a_{33}a_{41}$ : $\{2, 4, 3, 1\}$は順列なので、現れる (1)。

(2) $a_{13}a_{14}a_{31}a_{32}$ : 1行から$a_{13}$と$a_{14}$を選んでいるので、現れない (0)。

(3) $a_{21}a_{12}a_{31}a_{43}$ : 1列から$a_{21}$と$a_{31}$を選んでいるので、現れない (0)。

(4) $a_{11}a_{44}a_{32}a_{43}$ : 4行から$a_{44}$と$a_{43}$を選んでいるので、現れない (0)。

(5) $a_{21}a_{33}a_{42}a_{14}$ : $\{4, 1, 3, 2\}$は順列なので、現れる (1)。

3. 最終的な答え

* 項数: $4^4$個

* (1) 1

* (2) 0

* (3) 0

* (4) 0

* (5) 1