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与えられた3つの行列について、掃き出し法を用いて逆行列を求める。

代数学逆行列掃き出し法行列
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、掃き出し法を用いて逆行列を求める。

2. 解き方の手順

掃き出し法では、与えられた行列 AA と単位行列 II を並べた拡大行列 [A∣I][A|I] を基本変形によって [I∣A−1][I|A^{-1}] の形に変形する。このとき、A−1A^{-1} が AA の逆行列となる。
(1) 行列 A=(12001223−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} の逆行列を求める。
拡大行列 [A∣I][A|I] は
(120∣100012∣01023−1∣001)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &|& 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引く。
(120∣100012∣0100−1−1∣−201)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
3行目に2行目を加える。
(120∣100012∣010001∣−211)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
2行目から3行目の2倍を引く。
(120∣100010∣4−1−2001∣−211)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
1行目から2行目の2倍を引く。
(100∣−724010∣4−1−2001∣−211)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -7 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 &|& 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
したがって、逆行列は
A−1=(−7244−1−2−211)A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & 2 & 4 \\ 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
(2) 行列 A=(1111101100233021)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} の逆行列を求める。
拡大行列 [A∣I][A|I] は
(1111∣10001011∣01000023∣00103021∣0001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目から1行目を引く。
(1111∣10000−100∣−11000023∣00103021∣0001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4行目から1行目の3倍を引く。
(1111∣10000−100∣−11000023∣00100−3−1−2∣−3001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & -2 &|& -3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目に-1をかける。
(1111∣10000100∣1−1000023∣00100−3−1−2∣−3001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & -2 &|& -3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4行目に2行目の3倍を加える。
(1111∣10000100∣1−1000023∣001000−1−2∣0−301)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 &|& 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
1行目から2行目を引く。
(1011∣01000100∣1−1000023∣001000−1−2∣0−301)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 &|& 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
3行目に-1をかける。
(1011∣01000100∣1−1000023∣001000−1−2∣0−301)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 &|& 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
3行目と4行目を入れ替える
(1011∣01000100∣1−10000−1−2∣0−3010023∣0010)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 &|& 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
3行目に-1を掛ける。
(1011∣01000100∣1−1000012∣030−10023∣0010)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
4行目から3行目の2倍を引く。
(1011∣01000100∣1−1000012∣030−1000−1∣0−612)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 &|& 0 & -6 & 1 & 2 \end{pmatrix}
4行目に-1を掛ける。
(1011∣01000100∣1−1000012∣030−10001∣06−1−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}
1行目から4行目を引く。
(1010∣0−5120100∣1−1000012∣030−10001∣06−1−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & -5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}
3行目から4行目の2倍を引く。
(1010∣0−5120100∣1−1000010∣0−9230001∣06−1−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & -5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & -9 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}
1行目から3行目を引く。
(1000∣04−1−10100∣1−1000010∣0−9230001∣06−1−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &|& 0 & 4 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & -9 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}
したがって、逆行列は
A−1=(04−1−11−1000−92306−1−2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}
(3) 行列 A=(1111121100110012)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} の逆行列を求める。
拡大行列 [A∣I][A|I] は
(1111∣10001211∣01000011∣00100012∣0001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目から1行目を引く。
(1111∣10000100∣−11000011∣00100012∣0001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
1行目から2行目を引く。
(1011∣2−1000100∣−11000011∣00100012∣0001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4行目から3行目を引く。
(1011∣2−1000100∣−11000011∣00100001∣00−11)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 &|& 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
1行目から4行目を引く。
(1010∣2−11−10100∣−11000011∣00100001∣00−11)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 &|& 2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
3行目から4行目を引く。
(1010∣2−11−10100∣−11000010∣002−10001∣00−11)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 &|& 2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
1行目から3行目を引く。
(1000∣2−1−100100∣−11000010∣002−10001∣00−11)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &|& 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
したがって、逆行列は
A−1=(2−1−10−1100002−100−11)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) (−7244−1−2−211)\begin{pmatrix} -7 & 2 & 4 \\ 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
(2) (04−1−11−1000−92306−1−2)\begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & -1 & -2 \end{pmatrix}
(3) (2−1−10−1100002−100−11)\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

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