正の数 $x, y$ が不等式 $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2}$ を満たしながら動くとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\log_2 x = X$, $\log_2 y = Y$ として、与えられた不等式を $X$ と $Y$ で表す。 (2) 点 $(X, Y)$ の存在範囲を図示する。 (3) $xy$ の最大値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求める。

代数学対数不等式最大値二次関数
2025/7/3

1. 問題の内容

正の数 x,yx, y が不等式 (log2x)2+(log2y)2log2x222y2(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2} を満たしながら動くとき、以下の問いに答える問題です。
(1) log2x=X\log_2 x = X, log2y=Y\log_2 y = Y として、与えられた不等式を XXYY で表す。
(2) 点 (X,Y)(X, Y) の存在範囲を図示する。
(3) xyxy の最大値と、そのときの xxyy の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた不等式を変形し、XXYY で表します。
log2x=X\log_2 x = X, log2y=Y\log_2 y = Y より、
(log2x)2+(log2y)2log2x222y2(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2}
X2+Y2log2x2log2(22y2)X^2 + Y^2 \leq \log_2 x^2 - \log_2 (2\sqrt{2}y^2)
X2+Y22log2xlog22log22log2y2X^2 + Y^2 \leq 2 \log_2 x - \log_2 2 - \log_2 \sqrt{2} - \log_2 y^2
X2+Y22X1122YX^2 + Y^2 \leq 2X - 1 - \frac{1}{2} - 2Y
X2+Y22X2Y32X^2 + Y^2 \leq 2X - 2Y - \frac{3}{2}
X22X+Y2+2Y32X^2 - 2X + Y^2 + 2Y \leq -\frac{3}{2}
X22X+1+Y2+2Y+132+1+1X^2 - 2X + 1 + Y^2 + 2Y + 1 \leq -\frac{3}{2} + 1 + 1
(X1)2+(Y+1)212(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 \leq \frac{1}{2}
(2) 点 (X,Y)(X, Y) の存在範囲は、中心 (1,1)(1, -1), 半径 12\frac{1}{\sqrt{2}} の円の内部です。
(3) xyxy の最大値を求めます。
log2x=X,log2y=Y\log_2 x = X, \log_2 y = Y より、
log2xy=log2x+log2y=X+Y\log_2 xy = \log_2 x + \log_2 y = X + Y
xyxy が最大となるのは X+YX + Y が最大となるときです。
(X1)2+(Y+1)2=12(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 = \frac{1}{2} の円上の点で、X+Y=kX + Y = k となる直線を考えます。
Y=X+kY = -X + k を円の方程式に代入すると、
(X1)2+(X+k+1)2=12(X - 1)^2 + (-X + k + 1)^2 = \frac{1}{2}
(X1)2+(Xk1)2=12(X - 1)^2 + (X - k - 1)^2 = \frac{1}{2}
X22X+1+X22(k+1)X+(k+1)2=12X^2 - 2X + 1 + X^2 - 2(k + 1)X + (k + 1)^2 = \frac{1}{2}
2X2(2+2k+2)X+1+(k+1)212=02X^2 - (2 + 2k + 2)X + 1 + (k + 1)^2 - \frac{1}{2} = 0
2X2(2k+4)X+k2+2k+32=02X^2 - (2k + 4)X + k^2 + 2k + \frac{3}{2} = 0
接するとき、判別式 D=0D = 0 となります。
D=(2k+4)24(2)(k2+2k+32)=0D = (2k + 4)^2 - 4(2)(k^2 + 2k + \frac{3}{2}) = 0
4k2+16k+168k216k12=04k^2 + 16k + 16 - 8k^2 - 16k - 12 = 0
4k2+4=0-4k^2 + 4 = 0
k2=1k^2 = 1
k=±1k = \pm 1
X+Y=kX + Y = k より、X+YX + Y の最大値は 11 です。
log2xy=1\log_2 xy = 1
xy=21=2xy = 2^1 = 2
X+Y=1X + Y = 1 のとき、円 (X1)2+(Y+1)2=12(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 = \frac{1}{2} と直線 Y=X+1Y = -X + 1 の接点を求めます。
(X1)2+(X+1+1)2=12(X - 1)^2 + (-X + 1 + 1)^2 = \frac{1}{2}
(X1)2+(X+2)2=12(X - 1)^2 + (-X + 2)^2 = \frac{1}{2}
X22X+1+X24X+4=12X^2 - 2X + 1 + X^2 - 4X + 4 = \frac{1}{2}
2X26X+5=122X^2 - 6X + 5 = \frac{1}{2}
4X212X+10=14X^2 - 12X + 10 = 1
4X212X+9=04X^2 - 12X + 9 = 0
(2X3)2=0(2X - 3)^2 = 0
X=32X = \frac{3}{2}
Y=X+1=32+1=12Y = -X + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}
x=232=22x = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}
y=212=12y = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
xy=2212=2xy = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2

3. 最終的な答え

(1) (X1)2+(Y+1)212(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 \leq \frac{1}{2}
(2) 中心 (1,1)(1, -1), 半径 12\frac{1}{\sqrt{2}} の円の内部
(3) xyxy の最大値は 22, そのときの x=22x = 2\sqrt{2}, y=12y = \frac{1}{\sqrt{2}}

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