正の数 $x, y$ が不等式 $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq \log_2 \frac{x^2}{2\sqrt{2}y^2}$ を満たしながら動くとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\log_2 x = X$, $\log_2 y = Y$ として、与えられた不等式を $X$ と $Y$ で表す。 (2) 点 $(X, Y)$ の存在範囲を図示する。 (3) $xy$ の最大値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求める。
2025/7/3
1. 問題の内容
正の数 が不等式 を満たしながら動くとき、以下の問いに答える問題です。
(1) , として、与えられた不等式を と で表す。
(2) 点 の存在範囲を図示する。
(3) の最大値と、そのときの と の値を求める。
2. 解き方の手順
(1) 与えられた不等式を変形し、 と で表します。
, より、
(2) 点 の存在範囲は、中心 , 半径 の円の内部です。
(3) の最大値を求めます。
より、
が最大となるのは が最大となるときです。
の円上の点で、 となる直線を考えます。
を円の方程式に代入すると、
接するとき、判別式 となります。
より、 の最大値は です。
のとき、円 と直線 の接点を求めます。
3. 最終的な答え
(1)
(2) 中心 , 半径 の円の内部
(3) の最大値は , そのときの ,