与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。この問題には2つのケースがあります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。この問題には2つのケースがあります。

2. 解き方の手順

行列方程式 $AX = B$ を解くには、まず行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。もし $A^{-1}$ が存在すれば、$X = A^{-1}B$ を計算することで $X$ を求めることができます。もし $A^{-1}$ が存在しない場合は、拡大行列 $[A|B]$ を行基本変形して解を求めます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

拡大行列 $[A|B]$ を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & -3 \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

2行目を-1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & -3 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & 1/2 & -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$

3行目を2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の1/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

拡大行列 $[A|B]$ を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & -4 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & -4 & -4 & -2 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x - z = 1$

$y - 2z = -2$

$z = t$ とおくと、

$x = t + 1$

$y = 2t - 2$

$X = \begin{pmatrix} t + 1 & 2t + 4 \\ 2t - 2 & -t-2 \\ t & t \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $X = \begin{pmatrix} t + 1 & 2t + 4 \\ 2t - 2 & -t-2 \\ t & t \end{pmatrix}$ (tは任意の実数)

または

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (tは任意の実数)