与えられた3つの行列に対して、掃き出し法を用いて逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列に対して、掃き出し法を用いて逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

掃き出し法を行うために、単位行列を右側に付加した拡大行列を作成する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足す：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の2倍を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -7 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍する：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍する：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & 2 & 4 \\ 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $C^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$