実数 $a, b, x$ について、 $a+b=3$, $ab=1$, $x - \frac{1}{x} = 2$ が成り立つ。 また、$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ とする。 このとき、以下の値を求める。 (1) $a^2 + b^2$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}, A+B$ (3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B}$

1. 問題の内容

実数 $a, b, x$ について、 $a+b=3$, $ab=1$, $x - \frac{1}{x} = 2$ が成り立つ。

また、$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ とする。

このとき、以下の値を求める。

(1) $a^2 + b^2$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}, A+B$

(3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B}$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + b^2$ の値を求める。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ を利用する。

$a+b=3$, $ab=1$ を代入すると、

$a^2 + b^2 = 3^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

$x - \frac{1}{x} = 2$ の両辺を2乗すると、

$(x - \frac{1}{x})^2 = 2^2$

$x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 4$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6$

$A+B$ の値を求める。

$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ より、

$A+B = (ax - \frac{b}{x}) + (bx - \frac{a}{x}) = ax + bx - \frac{b}{x} - \frac{a}{x} = (a+b)x - \frac{a+b}{x} = (a+b)(x - \frac{1}{x})$

$a+b = 3$, $x - \frac{1}{x} = 2$ を代入すると、

$A+B = 3 \times 2 = 6$

(3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B}$ の値を求める。

$\frac{B}{A} + \frac{A}{B} = \frac{A^2 + B^2}{AB} = \frac{(A+B)^2 - 2AB}{AB} = \frac{(A+B)^2}{AB} - 2$

$A = ax - \frac{b}{x}$, $B = bx - \frac{a}{x}$ より、

$AB = (ax - \frac{b}{x})(bx - \frac{a}{x}) = abx^2 - a^2 - b^2 + \frac{ab}{x^2} = ab(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (a^2 + b^2)$

$ab=1$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$, $a^2 + b^2 = 7$ を代入すると、

$AB = 1(6) - 7 = 6 - 7 = -1$

$A+B = 6$ より、

$\frac{B}{A} + \frac{A}{B} = \frac{(A+B)^2}{AB} - 2 = \frac{6^2}{-1} - 2 = \frac{36}{-1} - 2 = -36 - 2 = -38$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2 = 7$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$, $A+B = 6$

(3) $\frac{B}{A} + \frac{A}{B} = -38$