$3x^2 + 6x + 6$ を複素数の範囲で因数分解します。

1. 問題の内容

$3x^2 + 6x + 6$ を複素数の範囲で因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 + 6x + 6$ を $3$ で括り出すと、

$3(x^2 + 2x + 2)$

となります。

次に、括弧の中の二次式 $x^2 + 2x + 2$ の解を求めます。二次方程式 $x^2 + 2x + 2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。解の公式は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられるというものです。

この問題の場合、$a=1, b=2, c=2$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2i}{2}$

$x = -1 \pm i$

となります。

したがって、$x^2 + 2x + 2$ は $(x - (-1 + i))(x - (-1 - i)) = (x + 1 - i)(x + 1 + i)$ と因数分解できます。

よって、$3x^2 + 6x + 6$ の複素数の範囲での因数分解は

$3(x + 1 - i)(x + 1 + i)$

となります。

3. 最終的な答え

$3(x+1-i)(x+1+i)$