2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$2x^2 + 12x + 14$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$2x^2 + 12x + 14$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた解 $x = -3 \pm \sqrt{2}$ から、因数分解の形を逆算します。

$x = -3 + \sqrt{2}$ と $x = -3 - \sqrt{2}$ は、$2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解であるため、

それぞれの解から因数 $x - (-3 + \sqrt{2})$ と $x - (-3 - \sqrt{2})$ を作ります。

$x - (-3 + \sqrt{2}) = x + 3 - \sqrt{2}$

$x - (-3 - \sqrt{2}) = x + 3 + \sqrt{2}$

これらを掛け合わせると、

$(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2}) = (x+3)^2 - (\sqrt{2})^2 = x^2 + 6x + 9 - 2 = x^2 + 6x + 7$

したがって、$x^2 + 6x + 7$ は $2x^2 + 12x + 14$ の因数です。

$2x^2 + 12x + 14 = 2(x^2 + 6x + 7)$

よって、$2x^2 + 12x + 14 = 2(x - (-3+\sqrt{2}))(x - (-3-\sqrt{2}))=2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$