与えられた式 $-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、式を次のように並べ替えます。

$-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) = -[(b+c)+a][(b+c)-a][a+(c-b)][a-(c-b)]$

ここで、$X = b+c$ と $Y = c-b$ とおくと、

$-(X+a)(X-a)(a+Y)(a-Y)$となります。

$(X+a)(X-a) = X^2 - a^2$

$(a+Y)(a-Y) = a^2 - Y^2$

したがって、

$-(X^2 - a^2)(a^2 - Y^2) = -(X^2a^2 - X^2Y^2 - a^4 + a^2Y^2)$

$= -((b+c)^2a^2 - (b+c)^2(c-b)^2 - a^4 + a^2(c-b)^2)$

$= -(a^2(b^2 + 2bc + c^2) - (b^2 + 2bc + c^2)(c^2 - 2bc + b^2) - a^4 + a^2(c^2 - 2bc + b^2))$

$= -(a^2b^2 + 2a^2bc + a^2c^2 - (b^2c^2 - 2b^3c + b^4 + 2bc^3 - 4b^2c^2 + 2b^3c + c^4 - 2bc^3 + b^2c^2) - a^4 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2)$

$= -(a^2b^2 + 2a^2bc + a^2c^2 - (b^4 + c^4 - 2b^2c^2 + 4b^3c -4b^2c^2) - a^4 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2)$

$= -(a^2b^2 + 2a^2bc + a^2c^2 - b^4 - c^4 + 2b^2c^2 - a^4 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2)$

$= - (2a^2b^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 + 2b^2c^2)$

$= a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

$= a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$

$= a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

3. 最終的な答え

$a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2$

または

$a^4 + b^4 + c^4 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$

あるいは

$-(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc)$

あるいは

$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

など。

上記はすべて同じ意味です。