複素数 $\alpha = -2 + i$ と $\beta = 1 - 3i$ が与えられています。 (1) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求めます。 (2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $\delta$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = -2 + i$ と $\beta = 1 - 3i$ が与えられています。

(1) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求めます。

(2) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $\delta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\beta$ を $\alpha$ を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点 $\gamma$ は、

$$\gamma = \alpha + (\beta - \alpha) \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}))$$

と表されます。$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$、$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ なので、

$$\gamma = \alpha + (\beta - \alpha)i$$

$\alpha = -2 + i$, $\beta = 1 - 3i$ を代入して、

$$\gamma = (-2 + i) + ((1 - 3i) - (-2 + i))i = (-2 + i) + (3 - 4i)i = -2 + i + 3i - 4i^2 = -2 + 4i + 4 = 2 + 4i$$

(2) $\beta$ を $\alpha$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点 $\delta$ は、

$$\delta = \alpha + (\beta - \alpha) \cdot (\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$$

と表されます。$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$$\delta = \alpha + (\beta - \alpha) \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$$

$\alpha = -2 + i$, $\beta = 1 - 3i$ を代入して、$\beta - \alpha = (1 - 3i) - (-2 + i) = 3 - 4i$ なので、

$$\delta = (-2 + i) + (3 - 4i) \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-2 + i) + (\frac{3}{2} - 2i + \frac{3\sqrt{3}}{2}i - 2\sqrt{3}i^2) = (-2 + i) + (\frac{3}{2} + 2\sqrt{3} - 2i + \frac{3\sqrt{3}}{2}i) = (-2 + i) + (\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) + (-\frac{4}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2})i = (-\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}) + (-\frac{2}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2})i = (-\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}) + (\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1)i$$

$$\delta = (-\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}) + (-1 + \frac{3\sqrt{3}}{2})i$$

3. 最終的な答え

(1) $\gamma = 2 + 4i$

(2) $\delta = -\frac{1}{2} + 2\sqrt{3} + (\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1)i$