3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $x=1$ と $x=-4$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と、残りの解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $x=1$ と $x=-4$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と、残りの解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ と $x=-4$ が解であることから、方程式に代入して $a$ と $b$ に関する連立方程式を作る。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 + a(1)^2 + b(1) - 20 = 0$

$1 + a + b - 20 = 0$

$a + b = 19$ (1)

$x=-4$ を代入すると、

$(-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) - 20 = 0$

$-64 + 16a - 4b - 20 = 0$

$16a - 4b = 84$

$4a - b = 21$ (2)

(2) (1) と (2) を連立させて $a$ と $b$ を求める。

(1) + (2) より、

$5a = 40$

$a = 8$

これを (1) に代入すると、

$8 + b = 19$

$b = 11$

よって、$a=8$, $b=11$

(3) 元の3次方程式は、

$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = 0$

これは、$x=1$ と $x=-4$ を解に持つので、$(x-1)(x+4)$ を因数に持つ。

$(x-1)(x+4) = x^2 + 3x - 4$

$x^3 + 8x^2 + 11x - 20$ を $x^2 + 3x - 4$ で割ると、

$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = (x^2 + 3x - 4)(x+5)$

したがって、$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = (x-1)(x+4)(x+5) = 0$

よって、残りの解は $x=-5$ である。

3. 最終的な答え

$a = 8$, $b = 11$, 他の解：$-5$