$n$ は正の整数、$a, b$ は実数であるとき、積分 $\int_{0}^{\pi} |a \cos nx + b \sin nx| dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$n$ は正の整数、$a, b$ は実数であるとき、積分 $\int_{0}^{\pi} |a \cos nx + b \sin nx| dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

積分を計算するために、$a \cos nx + b \sin nx$ の絶対値を外す必要がある。

$a \cos nx + b \sin nx = R \cos(nx - \alpha)$ と変形する。ここで、

$R = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos \alpha = \frac{a}{R}$

$\sin \alpha = \frac{b}{R}$

したがって、

$a \cos nx + b \sin nx = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(nx - \alpha)$

積分は

$\int_{0}^{\pi} |\sqrt{a^2 + b^2} \cos(nx - \alpha)| dx = \sqrt{a^2 + b^2} \int_{0}^{\pi} |\cos(nx - \alpha)| dx$

$u = nx - \alpha$ と置換すると、$du = n dx$ より $dx = \frac{du}{n}$。積分範囲は $x=0$ のとき $u=-\alpha$、$x=\pi$ のとき $u=n\pi - \alpha$ となる。

$\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{n} \int_{-\alpha}^{n\pi - \alpha} |\cos u| du$

$\cos u$ は周期 $\pi$ を持つので、$|\cos u|$ も周期 $\pi$ を持つ。積分範囲は $n\pi$ の長さなので、

$\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{n} \int_{-\alpha}^{n\pi - \alpha} |\cos u| du = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{n} n \int_{0}^{\pi} |\cos u| du = \sqrt{a^2 + b^2} \int_{0}^{\pi} |\cos u| du$

$\int_{0}^{\pi} |\cos u| du = \int_{0}^{\pi/2} \cos u du - \int_{\pi/2}^{\pi} \cos u du = [\sin u]_{0}^{\pi/2} - [\sin u]_{\pi/2}^{\pi} = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$

したがって、積分は $2 \sqrt{a^2 + b^2}$ となる。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{a^2 + b^2}$