(1) 関数 $y = \sin x$ と $y = \sin 3x$ の周期、および $0 \le x \le \pi$ におけるグラフの共有点の個数を求める。 (2) 関数 $y = 2\sin 2x + \frac{\sqrt{3}\sin 3x}{\sin x}$ について、$\sin 3x$ の式変形を行い、$y$ を変形して、最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sin x$ と $y = \sin 3x$ の周期、および $0 \le x \le \pi$ におけるグラフの共有点の個数を求める。

(2) 関数 $y = 2\sin 2x + \frac{\sqrt{3}\sin 3x}{\sin x}$ について、$\sin 3x$ の式変形を行い、$y$ を変形して、最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $y = \sin x$ の周期は $2\pi$ なので、ア = 2。

* $y = \sin 3x$ の周期は $\frac{2\pi}{3}$ なので、イ = 2/3。

* $y = \sin x$ と $y = \sin 3x$ のグラフの共有点は、$\sin x = \sin 3x$ を満たす $x$ である。

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ より、$\sin x = 3\sin x - 4\sin^3 x$。

$4\sin^3 x - 2\sin x = 0$。

$2\sin x(2\sin^2 x - 1) = 0$。

$\sin x = 0$ または $\sin^2 x = \frac{1}{2}$。

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$。

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$。

$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ は、$0 \le x \le \pi$ では解を持たない。

したがって、共有点は $x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi$ の4個。 よって、エ = 4。

(2)

* $\sin 3x = \sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$

よって、オ = 2

* $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より

$\sin 3x = 2\sin x \cos^2 x + (2\cos^2 x - 1)\sin x = (4\cos^2 x - 1)\sin x$

よって、カ = 4

* $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ より

$\sin 3x = (4(1 - \sin^2 x) - 1)\sin x = (3 - 4\sin^2 x)\sin x$

よって、キ = 3, ク = 4

* $y = 2\sin 2x + \sqrt{3}(3 - 4\sin^2 x) = 2\sin 2x + \sqrt{3}(3 - 2(1-\cos 2x)) = 2\sin 2x + \sqrt{3}(1 + 2\cos 2x) = 2\sin 2x + 2\sqrt{3}\cos 2x + \sqrt{3} = 4(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x) + \sqrt{3} = 4\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}$

よって、ケ = 4, コ = 3, サ = 3。

* $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{3} < 2x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$。

したがって、$-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \le 1$。

最大値は、$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$ のとき、$4 + \sqrt{3}$。

最小値は、$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$ のとき、$-4 + \sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2/3

ウ = 4

オ = 2

カ = 4

キ = 3

ク = 4

ケ = 4

コ = 3

サ = 3

シ = 4

ス = 3

セ = -4

ソ = 3