正の整数 $n$ について、以下の問いに答えます。 (1) $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示します。 (2) $n^2+2$ が $2n+1$ の倍数となる $n$ を求めます。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ について、以下の問いに答えます。

(1) $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示します。

(2) $n^2+2$ が $2n+1$ の倍数となる $n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることの証明

$n^2$ と $2n+1$ の最大公約数を $d$ とします。つまり、$d$ は $n^2$ と $2n+1$ を割り切ります。

$d$ が $2n+1$ を割り切るので、$d$ は $4n^2$ よりも小さい任意の$4n^2 - (2n-1)(2n+1)$ も割り切ります。

$4n^2 - (2n-1)(2n+1) = 4n^2 - (4n^2 - 1) = 1$

したがって、$d$ は $1$ を割り切るので、$d=1$ となります。

よって、$n^2$ と $2n+1$ は互いに素です。

(2) $n^2+2$ が $2n+1$ の倍数となる $n$ を求める

$n^2 + 2$ が $2n+1$ の倍数であるとき、$k$ を整数として

$n^2 + 2 = k(2n+1)$ と表せます。

$4(n^2 + 2) = 4n^2 + 8 = (2n)^2 + 8$

ここで、$(2n+1)(2n-1) = 4n^2 - 1$ であるから、

$4(n^2+2) - (2n+1)(2n-1) = (4n^2+8) - (4n^2 - 1) = 9$

よって、$4(n^2+2) - (2n+1)(2n-1) = 9$

$n^2+2$ が $2n+1$ の倍数なので、$4(n^2+2)$ も $2n+1$ の倍数です。また、$(2n+1)(2n-1)$ は $2n+1$ の倍数なので、$9$ も $2n+1$ の倍数となります。

$2n+1$ は $9$ の約数なので、$2n+1$ は $1, 3, 9$ のいずれかになります。

$2n+1 = 1$ のとき、$n = 0$ となりますが、$n$ は正の整数なので不適です。

$2n+1 = 3$ のとき、$n = 1$ となり、$n^2 + 2 = 3$ で、$2n+1 = 3$ なので、$n^2+2$ は $2n+1$ の倍数となります。

$2n+1 = 9$ のとき、$n = 4$ となり、$n^2+2 = 18$ で、$2n+1 = 9$ なので、$n^2+2$ は $2n+1$ の倍数となります。

3. 最終的な答え

(1) $n^2$ と $2n+1$ は互いに素である。（証明終わり）

(2) $n = 1, 4$