素数 $p, q$ を用いて $p^q + q^p$ と表される素数をすべて求める。

1. 問題の内容

素数 $p, q$ を用いて $p^q + q^p$ と表される素数をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$p$と$q$がともに奇数の場合を考える。

$p$と$q$がともに奇数であれば、$p^q$と$q^p$も奇数になる。したがって、$p^q + q^p$は偶数となる。

$p^q + q^p$が素数であるためには、$p^q + q^p = 2$でなければならないが、$p$と$q$がともに奇数なので、$p^q + q^p > 2$となる。

したがって、$p$と$q$がともに奇数であることはない。

次に、$p=2$の場合を考える。このとき、$2^q + q^2$が素数となるような素数$q$を求める。

* $q=3$のとき、$2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$となり、17は素数である。

* $q=5$のとき、$2^5 + 5^2 = 32 + 25 = 57 = 3 \times 19$となり、57は素数ではない。

* $q=7$のとき、$2^7 + 7^2 = 128 + 49 = 177 = 3 \times 59$となり、177は素数ではない。

$q \neq 3$の場合、$q$は$3k+1$または$3k+2$の形で表される。

$q$が3で割り切れない素数であることから、$q \equiv 1 \pmod{3}$ または $q \equiv 2 \pmod{3}$である。

$q \equiv 1 \pmod{3}$ の場合、 $2^q = 2^{3k+1} = 2 \cdot 8^k \equiv 2 \cdot (-1)^k \pmod{3}$

$q^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

$2^q + q^2 \equiv 2 \cdot (-1)^k + 1 \pmod{3}$.

$q \equiv 2 \pmod{3}$ の場合、$2^q = 2^{3k+2} = 4 \cdot 8^k \equiv 4 \cdot (-1)^k \equiv (-1)^k+1 \pmod{3}$.

$q^2 \equiv 2^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

$2^q + q^2 \equiv (-1)^k + 1 + 1 \equiv (-1)^k \pmod{3}$.

$q \equiv 1 \pmod{3}$で、$k$が奇数のとき、$2^q + q^2 \equiv 2(-1)+1 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$.

$q \equiv 1 \pmod{3}$で、$k$が偶数のとき、$2^q + q^2 \equiv 2(1)+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$.

$q \equiv 2 \pmod{3}$で、$k$が奇数のとき、$2^q + q^2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$.

$q \equiv 2 \pmod{3}$で、$k$が偶数のとき、$2^q + q^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

$q=3$以外の$q$に対して、$2^q+q^2$は3の倍数となる可能性がある。実際に$q=5, 7$で確認したように、$2^q+q^2$は3の倍数になることがある。

$2^q + q^2$が3より大きい3の倍数になる場合、$2^q + q^2$は素数ではない。

$q=2$の場合も考える。このとき、$p^2 + 2^p$が素数となるような素数$p$を求める。

* $p=3$のとき、$3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17$となり、17は素数である。

* $p=5$のとき、$5^2 + 2^5 = 25 + 32 = 57 = 3 \times 19$となり、57は素数ではない。

$p \neq 3$の場合、$p$は$3k+1$または$3k+2$の形で表される。

$p^2 \equiv 1 \pmod{3}$である。

$2^p \equiv (-1)^p \pmod{3}$.

$p^2 + 2^p \equiv 1 + (-1)^p \pmod{3}$

$p \neq 2, p \neq 3$より、$p$は奇数なので、$p^2 + 2^p \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

したがって、$p=3$以外の奇素数$p$に対して、$p^2+2^p$は3の倍数になるので素数ではない。

以上より、$p^q + q^p$が素数となるのは$(p,q) = (2,3)$または$(3,2)$の場合のみである。

このとき、$p^q + q^p = 2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$となる。

3. 最終的な答え

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