全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$、 $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cup B$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A}$ (4) $A \cap \overline{B}$ (5) $\overline{A \cup B}$ (6) $\overline{A} \cup B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$、 $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cup B$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A}$

(4) $A \cap \overline{B}$

(5) $\overline{A \cup B}$

(6) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ (AとBの和集合)

$A \cup B$ は、AとBの要素をすべて含む集合です。重複する要素は一度だけ書きます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $A \cap B$ (AとBの共通部分)

$A \cap B$ は、AとBの両方に含まれる要素からなる集合です。

$A \cap B = \{1, 5, 9\}$

(3) $\overline{A}$ (Aの補集合)

$\overline{A}$ は、全体集合Uの中でAに含まれない要素からなる集合です。

$\overline{A} = U - A = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分)

まず、Bの補集合$\overline{B}$を求めます。

$\overline{B} = U - B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

次に、Aと$\overline{B}$の共通部分を求めます。

$A \cap \overline{B} = \{2, 6, 10\}$

(5) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合)

(1)で求めた$A \cup B$の補集合を求めます。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{4, 8\}$

(6) $\overline{A} \cup B$ (Aの補集合とBの和集合)

(3)で求めた$\overline{A}$とBの和集合を求めます。

$\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 9, 8\}$

並び替えると

$\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $A \cap B = \{1, 5, 9\}$

(3) $\overline{A} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 6, 10\}$

(5) $\overline{A \cup B} = \{4, 8\}$

(6) $\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$