SHIKEN の6文字をすべて使ってできる順列を、EHIKNSを1番目として、辞書式に並べるとき、 (1) 140番目の文字列を求める。 (2) SHIKEN は何番目の文字列かを求める。

1. 問題の内容

SHIKEN の6文字をすべて使ってできる順列を、EHIKNSを1番目として、辞書式に並べるとき、

(1) 140番目の文字列を求める。

(2) SHIKEN は何番目の文字列かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。

まず、SHIKENの文字を辞書式順に並べると、E, H, I, K, N, S となる。

6文字の順列は全部で $6! = 720$ 通りある。

先頭の文字で場合分けする。

- E から始まる順列は $5! = 120$ 通り。

- H から始まる順列は $5! = 120$ 通り。

140番目の文字列は H から始まる文字列の中にあることがわかる。

140番目を探しているので、$140 - 120 = 20$ 番目を考えれば良い。

次に、2文字目を考える。

- HE から始まる順列は $4! = 24$ 通り。

20番目は HE から始まる文字列の中にある。

したがって、HE から始まる文字列の20番目を求めれば良い。

次に、3文字目を考える。

残りの文字はI, K, N, S

- HEI から始まる順列は $3! = 6$ 通り。

- HEK から始まる順列は $3! = 6$ 通り。

- HEN から始まる順列は $3! = 6$ 通り。

$6+6+6 = 18 < 20$ なので、HENから始まる文字列の次を考える。

- HES から始まる順列は $3! = 6$ 通り。

よって、20番目はHESから始まる文字列の中にある。

$20 - 18 = 2$ 番目を考えれば良い。

残りの文字は I, K, N

- HESI から始まる順列は $2! = 2$ 通り。

HES の次はIである。したがって、HESI から始まる文字列の2番目を求める。

残りの文字は K, N

よって、2番目はHESINKとなる。

(2) SHIKEN は何番目の文字列か。

- E から始まる文字列は $5! = 120$ 通り。

- H から始まる文字列は $5! = 120$ 通り。

- I から始まる文字列は $5! = 120$ 通り。

- K から始まる文字列は $5! = 120$ 通り。

S から始まる文字列を考える。

- SE から始まる文字列は $4! = 24$ 通り。

- SH から始まる文字列を考える。

- SHE から始まる文字列は $3! = 6$ 通り。

- SHI から始まる文字列を考える。

- SHIE から始まる文字列は $2! = 2$ 通り。

- SHIK から始まる文字列を考える。

- SHIKE から始まる文字列は $1! = 1$ 通り。

SHIKEN は SHIKEN の1番目。

$120 \times 4 + 24 + 6 + 2 + 1 = 480 + 24 + 6 + 2 + 1 = 513$

したがって、SHIKENは513番目である。

3. 最終的な答え

(1) 140番目の文字列：HESINK

(2) SHIKEN は513番目の文字列