与えられた問題は、組み合わせの計算に関するものです。具体的には以下の4つの問題を解きます。 (1) 6人の中から2人を選ぶ組み合わせの数 (2) 8枚の絵はがきから3枚を選ぶ組み合わせの数 (3) 正六角形の6個の頂点から3個を選んでできる三角形の総数 (4) 男子6人、女子5人の中から男子3人、女子2人を選ぶ組み合わせの数 (5) 3本の横の平行線と4本の斜めの平行線から作られる平行四辺形の数

1. 問題の内容

与えられた問題は、組み合わせの計算に関するものです。具体的には以下の4つの問題を解きます。

(1) 6人の中から2人を選ぶ組み合わせの数

(2) 8枚の絵はがきから3枚を選ぶ組み合わせの数

(3) 正六角形の6個の頂点から3個を選んでできる三角形の総数

(4) 男子6人、女子5人の中から男子3人、女子2人を選ぶ組み合わせの数

(5) 3本の横の平行線と4本の斜めの平行線から作られる平行四辺形の数

2. 解き方の手順

(1) 6人から2人を選ぶ組み合わせは、組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

この場合、$n = 6$、$r = 2$ なので、

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2) 8枚から3枚を選ぶ組み合わせも同様に計算します。$n = 8$、$r = 3$ なので、

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(3) 正六角形の6個の頂点から3個を選んでできる三角形の総数は、組み合わせの公式を用いて計算します。$n = 6$、$r = 3$ なので、

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(4) 男子6人から3人を選ぶ組み合わせは $_{6}C_{3}$、女子5人から2人を選ぶ組み合わせは $_{5}C_{2}$ です。それぞれの組み合わせの数を計算し、掛け合わせることで答えを求めます。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、求める組み合わせの数は $20 \times 10 = 200$ です。

(5) 平行四辺形を作るには、3本の横線から2本を選び、4本の斜めの線から2本選ぶ必要があります。

横線から2本選ぶ組み合わせは $_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

斜めの線から2本選ぶ組み合わせは $_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、平行四辺形の総数は $3 \times 6 = 18$ です。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 56通り

(3) 20個

(4) 200通り

(5) 18個