「MEDICINE」の8文字を並び替える問題です。 (1) M, D, C, Nがこの順に並ぶ並べ方の総数を求めます。 (2) EとIが必ず偶数番目にある並べ方の総数を求めます。

1. 問題の内容

「MEDICINE」の8文字を並び替える問題です。

(1) M, D, C, Nがこの順に並ぶ並べ方の総数を求めます。

(2) EとIが必ず偶数番目にある並べ方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) M, D, C, Nがこの順に並ぶ並べ方

8文字を並び替える方法は全部で8!通りです。M, D, C, Nの4文字の並び順は4!通りありますが、このうちM, D, C, Nの順に並んでいるのは1通りだけです。したがって、求める並べ方の総数は、8!を4!で割ったものになります。

$\frac{8!}{4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$

(2) EとIが必ず偶数番目にある並べ方

8文字の並び順で偶数番目は2, 4, 6, 8番目の4つあります。

EとIをこの4つの偶数番目のうち2つに配置する方法は $_{4}P_{2} = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

残りの6文字（M, D, C, N, E, I以外のEとN）を、残りの6つの場所に並べる方法は6!通りです。

したがって、EとIが偶数番目にある並べ方の総数は、12 × 6!となります。

$12 \times 6! = 12 \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 12 \times 720 = 8640$

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 8640通り