右図のような街路において、点Pから点Qまで行く最短経路について、以下の問いに答えます。 (1) 総数 (2) Rを通る経路 (3) R, Sをともに通る経路 (4) ×印の箇所を通らない経路

## 解答

1. 問題の内容

右図のような街路において、点Pから点Qまで行く最短経路について、以下の問いに答えます。

(1) 総数

(2) Rを通る経路

(3) R, Sをともに通る経路

(4) ×印の箇所を通らない経路

2. 解き方の手順

(1) 総数：

PからQまで、右に4回、上に5回移動する必要があるので、合計9回の移動が必要です。このうち右への移動を4回選ぶ場合の数を考えればよいので、総数は組み合わせで計算できます。

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) Rを通る経路：

PからRまでの経路数と、RからQまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでは、右に2回、上に2回移動する必要があるので、経路数は $_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

RからQまでは、右に2回、上に3回移動する必要があるので、経路数は $_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、Rを通る経路数は $6 \times 10 = 60$通りです。

(3) R, Sをともに通る経路：

PからRまでの経路数、RからSまでの経路数、SからQまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでの経路数は、(2)より6通りです。

RからSまでは、上に1回、右に1回移動するので、経路数は $_{2}C_{1} = 2$通りです。

SからQまでは、上に2回、右に1回移動するので、経路数は $_{3}C_{1} = 3$通りです。

したがって、R, Sをともに通る経路数は $6 \times 2 \times 3 = 36$通りです。

(4) ×印の箇所を通らない経路：

まず、×印の箇所をTとします。

全体の経路数から、Tを通る経路数を引けばよいです。

PからQまでの経路数は(1)より126通りです。

PからTまでの経路数は、右に3回、上に3回移動するので、 $_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りです。

TからQまでの経路数は、右に1回、上に2回移動するので、 $_{3}C_{1} = 3$通りです。

したがって、Tを通る経路数は $20 \times 3 = 60$通りです。

よって、×印の箇所を通らない経路数は $126 - 60 = 66$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 総数：126通り

(2) Rを通る経路：60通り

(3) R, Sをともに通る経路：36通り

(4) ×印の箇所を通らない経路：66通り