右図のような格子状の街路において、点Pから点Qまで最短経路で移動する場合について、以下の問いに答えます。 (1) PからQまでの最短経路の総数を求めます。 (2) 点Rを通るPからQまでの最短経路の数を求めます。 (3) 点Rと点Sの両方を通るPからQまでの最短経路の数を求めます。 (4) ×印の箇所を通らないPからQまでの最短経路の数を求めます。

## 解答

1. 問題の内容

右図のような格子状の街路において、点Pから点Qまで最短経路で移動する場合について、以下の問いに答えます。

(1) PからQまでの最短経路の総数を求めます。

(2) 点Rを通るPからQまでの最短経路の数を求めます。

(3) 点Rと点Sの両方を通るPからQまでの最短経路の数を求めます。

(4) ×印の箇所を通らないPからQまでの最短経路の数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、PからQまで、右に$m$回、上に$n$回移動する必要があるとき、最短経路の総数は二項係数を用いて${}_{m+n}C_m = {}_{m+n}C_n$で表されることを利用します。

(1) PからQまでの最短経路の総数

PからQまでは、右に5回、上に4回移動する必要があります。したがって、最短経路の総数は

${}_{5+4}C_5 = {}_{9}C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通りです。

(2) Rを通る経路

PからRまでは、右に2回、上に2回移動する必要があります。その経路数は

${}_{2+2}C_2 = {}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

RからQまでは、右に3回、上に2回移動する必要があります。その経路数は

${}_{3+2}C_3 = {}_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、Rを通る経路の総数は、$6 \times 10 = 60$通りです。

(3) R, Sをともに通る経路

PからRまでは、(2)より6通りです。

RからSまでは、右に1回、上に1回移動する必要があります。その経路数は

${}_{1+1}C_1 = {}_{2}C_1 = 2$通りです。

SからQまでは、右に2回、上に1回移動する必要があります。その経路数は

${}_{2+1}C_2 = {}_{3}C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通りです。

したがって、R, Sをともに通る経路の総数は、$6 \times 2 \times 3 = 36$通りです。

(4) ×印の箇所を通らない経路

まず、×印の箇所を点Xとします。

PからQまでの経路のうち、Xを通る経路の数を求めます。

PからXまでは、右に3回、上に2回移動する必要があります。その経路数は

${}_{3+2}C_3 = {}_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

XからQまでは、右に2回、上に2回移動する必要があります。その経路数は

${}_{2+2}C_2 = {}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、Xを通る経路の総数は、$10 \times 6 = 60$通りです。

PからQまでの経路の総数(1)は126通りなので、Xを通らない経路の数は、$126 - 60 = 66$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 36通り

(4) 66通り