PからQまで行く最短経路について、以下の条件を満たす経路の数をそれぞれ求めます。 (1) 総数 (2) Rを通る経路 (3) RとSをともに通る経路 (4) ×印の箇所を通らない経路

1. 問題の内容

PからQまで行く最短経路について、以下の条件を満たす経路の数をそれぞれ求めます。

(1) 総数

(2) Rを通る経路

(3) RとSをともに通る経路

(4) ×印の箇所を通らない経路

2. 解き方の手順

(1) 総数

PからQまで行くには、右に5回、上に5回移動する必要があります。したがって、最短経路の総数は、10回の移動のうち右方向への移動を選ぶ組み合わせの数で求められます。

${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

(2) Rを通る経路

PからRまで行く経路の数と、RからQまで行く経路の数を掛け合わせます。

PからRまで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。その経路数は、

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

RからQまで行くには、右に3回、上に3回移動する必要があります。その経路数は、

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、Rを通る経路の数は、$6 \times 20 = 120$

(3) R, Sをともに通る経路

PからRまで行く経路数、RからSまで行く経路数、SからQまで行く経路数を掛け合わせます。

PからRまで行く経路数は、(2)より6通り。

RからSまで行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。その経路数は、

${}_2C_1 = 2$

SからQまで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。その経路数は、

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、RとSをともに通る経路の数は、$6 \times 2 \times 6 = 72$

(4) ×印の箇所を通らない経路

まず、PからQまでの総経路数から、×印の箇所を通る経路数を引きます。

×印の箇所をTとします。

PからTまで行く経路数：右に3回、上に2回なので ${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$

TからQまで行く経路数：右に2回、上に3回なので ${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$

したがって、×印の箇所を通る経路数は、$10 \times 10 = 100$

よって、×印の箇所を通らない経路数は、$252 - 100 = 152$

3. 最終的な答え

(1) 252通り

(2) 120通り

(3) 72通り

(4) 152通り