6人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。ただし、各部屋には少なくとも1人は入るものとする。

1. 問題の内容

6人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。ただし、各部屋には少なくとも1人は入るものとする。

2. 解き方の手順

まず、6人を3つのグループに分ける方法を考えます。各部屋に少なくとも1人が入るので、グループ分けは(1人, 1人, 4人), (1人, 2人, 3人), (2人, 2人, 2人)の3パターンがあります。

- (1人, 1人, 4人)のグループ分けの場合:

まず6人から4人を選ぶ方法は $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

残りの2人から1人を選ぶ方法は $\binom{2}{1} = 2$通り。

最後の1人は自動的に決まるので1通り。

ただし、1人のグループが2つあるので、2!で割る必要があります。

したがって、グループ分けの方法は $15 \times 2 \div 2! = 15$通り。

- (1人, 2人, 3人)のグループ分けの場合:

6人から3人を選ぶ方法は $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

残りの3人から2人を選ぶ方法は $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

最後の1人は自動的に決まるので1通り。

したがって、グループ分けの方法は $20 \times 3 = 60$通り。

- (2人, 2人, 2人)のグループ分けの場合:

6人から2人を選ぶ方法は $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

残りの4人から2人を選ぶ方法は $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$通り。

最後の2人は自動的に決まるので1通り。

ただし、2人のグループが3つあるので、3!で割る必要があります。

したがって、グループ分けの方法は $15 \times 6 \div 3! = 90 \div 6 = 15$通り。

上記で求めた各グループ分けに対して、3つの部屋A, B, Cへの割り当てを考えます。

- (1人, 1人, 4人)の場合: 3! = 6通り。グループ分けが15通りなので $15 \times 6 = 90$通り。

- (1人, 2人, 3人)の場合: 3! = 6通り。グループ分けが60通りなので $60 \times 6 = 360$通り。

- (2人, 2人, 2人)の場合: 3! = 6通り。グループ分けが15通りなので $15 \times 6 = 90$通り。

これらの合計は $90 + 360 + 90 = 540$通り。

3. 最終的な答え

540通り