東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。A地点からB地点へ最短距離で行く場合、以下の問いに答えよ。 (1) どのような道順でもよい場合、全部で何通りの道順があるか。 (2) C地点を通る場合、全部で何通りの道順があるか。

1. 問題の内容

東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。A地点からB地点へ最短距離で行く場合、以下の問いに答えよ。

(1) どのような道順でもよい場合、全部で何通りの道順があるか。

(2) C地点を通る場合、全部で何通りの道順があるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBへ最短距離で行くには、必ず右に4回、上に5回移動する必要がある。

したがって、全部で9回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ場合の数、または上への移動を5回選ぶ場合の数を考えれば良い。

これは組み合わせの問題として解くことができ、以下のように計算できる。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

または

$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) AからCへ行く最短経路の数と、CからBへ行く最短経路の数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせることで、Cを通るAからBへの最短経路の総数を求める。

AからCへは、右に2回、上に2回移動する必要があるため、移動回数は合計4回。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

CからBへは、右に2回、上に3回移動する必要があるため、移動回数は合計5回。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

したがって、Cを通るAからBへの最短経路は、

$6 \times 10 = 60$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り