東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。A地点からB地点へ最短距離で移動するとき、以下の問いに答える。 (1) どのような道順でもよい場合、全部で何通りの道順があるか。 (2) C地点を通る場合、全部で何通りの道順があるか。

1. 問題の内容

東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。A地点からB地点へ最短距離で移動するとき、以下の問いに答える。

(1) どのような道順でもよい場合、全部で何通りの道順があるか。

(2) C地点を通る場合、全部で何通りの道順があるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBへ最短距離で移動するには、東に4回、北に5回移動する必要がある。したがって、合計9回の移動のうち、東への移動を4回選ぶ組み合わせの数を求めればよい。これは組み合わせの式で表すと、${}_9 C_4$となる。

${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) AからCへ最短距離で移動するには、東に1回、北に2回移動する必要がある。したがって、合計3回の移動のうち、東への移動を1回選ぶ組み合わせの数を求めればよい。これは組み合わせの式で表すと、${}_3 C_1$となる。

CからBへ最短距離で移動するには、東に3回、北に3回移動する必要がある。したがって、合計6回の移動のうち、東への移動を3回選ぶ組み合わせの数を求めればよい。これは組み合わせの式で表すと、${}_6 C_3$となる。

C地点を通る道順の数は、AからCへの道順の数とCからBへの道順の数を掛け合わせたものになる。

${}_3 C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(1)(2 \times 1)} = 3$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

AからCを通ってBへ行く道順の総数は、${}_3 C_1 \times {}_6 C_3 = 3 \times 20 = 60$となる。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り