点Pから点Qまで最短距離で移動する経路の数を求める問題です。ただし、以下の条件を満たす経路の数をそれぞれ求めます。 (1) すべての道順 (2) 点Rを通る道順 (3) 点Rを通らない道順 (4) ×印の箇所を通らない道順

1. 問題の内容

点Pから点Qまで最短距離で移動する経路の数を求める問題です。ただし、以下の条件を満たす経路の数をそれぞれ求めます。

(1) すべての道順

(2) 点Rを通る道順

(3) 点Rを通らない道順

(4) ×印の箇所を通らない道順

2. 解き方の手順

(1) すべての道順

点Pから点Qまでの最短経路は、右に5回、下に4回移動する経路です。したがって、9回の移動のうち、右に5回移動する経路の数を求めればよいので、組み合わせの公式を用います。

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) 点Rを通る道順

点Pから点Rまでの最短経路は、右に2回、下に2回移動する経路です。

点Rから点Qまでの最短経路は、右に3回、下に2回移動する経路です。

したがって、点Pから点Rまでの経路数と、点Rから点Qまでの経路数をそれぞれ計算し、かけ合わせることで、点Rを通る道順の総数を求めることができます。

点Pから点Rまでの経路数：

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

点Rから点Qまでの経路数：

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

点Rを通る道順の総数：

$6 \times 10 = 60$

(3) 点Rを通らない道順

すべての道順から点Rを通る道順を引くことで、点Rを通らない道順を求めることができます。

$126 - 60 = 66$

(4) ×印の箇所を通らない道順

点PからQへのすべての道順から×印の場所を通る道順を引くことによって計算できます。点Pから×印の場所へ行く道順は${}_5 C_2 = 10$通り、×印の場所からQへ行く道順は${}_3 C_3 = 1$です。したがって点PからQへのすべての道順から×印の場所を通る道順は$10 \times 1= 10$なので答えは$126-10 = 116$

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 66通り

(4) 116通り