8人の人を、以下の条件でグループ分けする場合の数を求めます。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に、それぞれ2人ずつ分ける場合の数 (2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける場合の数 (3) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける場合の数

1. 問題の内容

8人の人を、以下の条件でグループ分けする場合の数を求めます。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に、それぞれ2人ずつ分ける場合の数

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける場合の数

(3) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける場合の数

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける場合

まず、8人からAの組に入れる2人を選びます。これは ${}_8 C_2$ 通り。

次に、残りの6人からBの組に入れる2人を選びます。これは ${}_6 C_2$ 通り。

次に、残りの4人からCの組に入れる2人を選びます。これは ${}_4 C_2$ 通り。

最後に、残りの2人はDの組に入ります。これは ${}_2 C_2 = 1$ 通り。

したがって、A, B, C, Dの組に分ける場合の数は、

${}_8 C_2 \times {}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \times \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \times 1 = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$ 通り。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

(1)で計算したように、まず8人から2人を選び、次に残りの6人から2人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人を選びます。

これは、${}_8 C_2 \times {}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = 2520$ 通り。

しかし、組に区別がないので、4つの組の並び順は考慮しません。4つの組の並び順は4!通りあるので、2520を4!で割る必要があります。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

したがって、2人ずつの4つの組に分ける場合の数は、

$\frac{2520}{4!} = \frac{2520}{24} = 105$ 通り。

(3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける場合

まず、8人から3人のグループを選びます。これは ${}_8 C_3$ 通り。

次に、残りの5人から3人のグループを選びます。これは ${}_5 C_3$ 通り。

最後に、残りの2人は2人のグループに入ります。これは ${}_2 C_2 = 1$ 通り。

3人のグループが2つあるので、グループの区別はありません。そのため、${}_8 C_3 \times {}_5 C_3$ を2!で割る必要があります。

したがって、3人、3人、2人の組に分ける場合の数は、

$\frac{{}_8 C_3 \times {}_5 C_3}{2!} = \frac{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{2} = \frac{56 \times 10}{2} = \frac{560}{2} = 280$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520 通り

(2) 105 通り

(3) 280 通り