右の図のような道のある町において、以下の最短経路の数を求めます。 (1) AからBまで行く経路の数。 (2) AからCを通ってBまで行く経路の数。 (3) AからCを通らずにBまで行く経路の数。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町において、以下の最短経路の数を求めます。

(1) AからBまで行く経路の数。

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数。

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数。

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路の数

AからBへ行くには、右に4回、下に3回移動する必要があります。したがって、合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数が経路の数となります。これは組み合わせの式で表すと、 $_7 C_4$ となります。

$_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の数

AからCまで行くには、右に2回、下に1回移動する必要があります。その経路数は $_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

CからBまで行くには、右に2回、下に2回移動する必要があります。その経路数は $_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、AからCを通ってBまで行く経路数は $3 \times 6 = 18$ 通りです。

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数

AからBまでの経路数から、AからCを通ってBまで行く経路数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路数が求められます。

したがって、AからCを通らずにBまで行く経路数は $35 - 18 = 17$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AからBまでの最短経路の数：35通り

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の数：18通り

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の数：17通り