全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ について、次の集合を求める問題です。 (1) $A^c$ (Aの補集合) (2) $A^c \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) (3) $A \cap B^c$ (AとBの補集合の共通部分) (4) $(A \cup B)^c$ (AとBの和集合の補集合)

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 4, 8\}$, $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ について、次の集合を求める問題です。

(1) $A^c$ (Aの補集合)

(2) $A^c \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分)

(3) $A \cap B^c$ (AとBの補集合の共通部分)

(4) $(A \cup B)^c$ (AとBの和集合の補集合)

2. 解き方の手順

(1) $A^c$ (Aの補集合)

$A^c$ は、全体集合 $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$A = \{2, 4, 8\}$ なので、

$A^c = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$

(2) $A^c \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分)

$A^c = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ の共通部分を求めます。

$A^c \cap B = \{3, 5, 6, 7\}$

(3) $A \cap B^c$ (AとBの補集合の共通部分)

$B^c$ は、全体集合 $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ なので、

$B^c = \{1, 2, 8, 9\}$

$A = \{2, 4, 8\}$ と $B^c = \{1, 2, 8, 9\}$ の共通部分を求めます。

$A \cap B^c = \{2, 8\}$

(4) $(A \cup B)^c$ (AとBの和集合の補集合)

まず、$A \cup B$ (AとBの和集合)を求めます。

$A \cup B = \{2, 4, 8\} \cup \{3, 4, 5, 6, 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

次に、$(A \cup B)^c$ を求めます。$(A \cup B)^c$ は、全体集合 $U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$(A \cup B)^c = \{1, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A^c = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$

(2) $A^c \cap B = \{3, 5, 6, 7\}$

(3) $A \cap B^c = \{2, 8\}$

(4) $(A \cup B)^c = \{1, 9\}$