集合の内包的記法に関する問題です。 (1) 2次式 $x^2 - 3x + 2$ の値が正となるような実数 $x$ の集合を内包的記法で表す。 (2) 0以上1未満の実数の集合 $[0, 1)$ を内包的記法で表す。 (3) あるオートマトンの入力記号 $w$ の並びで、末尾の記号が $b$ であるものの集合を内包的記法で表す。

1. 問題の内容

集合の内包的記法に関する問題です。

(1) 2次式 $x^2 - 3x + 2$ の値が正となるような実数 $x$ の集合を内包的記法で表す。

(2) 0以上1未満の実数の集合 $[0, 1)$ を内包的記法で表す。

(3) あるオートマトンの入力記号 $w$ の並びで、末尾の記号が $b$ であるものの集合を内包的記法で表す。

2. 解き方の手順

(1) 2次式 $x^2 - 3x + 2$ が正となる $x$ の範囲を求める。まず、$x^2 - 3x + 2 = 0$ を解く。

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ より、$x = 1, 2$ である。

$x < 1$ または $x > 2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 > 0$ となる。

したがって、求める集合は $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \text{ or } x > 2 \}$ と表せる。

(2) 0以上1未満の実数の集合 $[0, 1)$ を内包的記法で表す。

これは、$x$ が実数であり、$0 \leq x < 1$ であるような $x$ の集合として表現できる。

したがって、求める集合は $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x < 1\}$ と表せる。

(3) あるオートマトンの入力記号 $w$ の並びで、末尾の記号が $b$ であるものの集合を内包的記法で表す。

ここでは、入力記号のアルファベットを $\Sigma$ とします。$w$ は $\Sigma$ 上の文字列であり、その末尾の記号が $b$ であることを表現します。

$\Sigma^*$ を $\Sigma$ 上のすべての文字列の集合とすると、求める集合は $\{w \in \Sigma^* \mid w = wb', b' \in \Sigma^*, w = s \, b, s \in \Sigma^* \}$ と表せる。より簡単に $\{w \in \Sigma^* \mid w \text{ ends with } b \}$ と書くこともできます.

3. 最終的な答え

(1) $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \text{ or } x > 2 \}$

(2) $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x < 1\}$

(3) $\{w \in \Sigma^* \mid w = s \, b, s \in \Sigma^*\}$または $\{w \in \Sigma^* \mid w \text{ ends with } b \}$

（ただし、$\Sigma$ は入力記号のアルファベット、$\Sigma^*$ は $\Sigma$ 上のすべての文字列の集合を表す。）