(1) $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す。 (2) $n^2+2$ が $2n+1$ の倍数になる $n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す。

(2) $n^2+2$ が $2n+1$ の倍数になる $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す。

$n^2$ と $2n+1$ の最大公約数を $d$ とおく。

このとき、$d$ は $n^2$ と $2n+1$ を割り切るので、$n^2$ と $2n+1$ の整数倍の差も割り切る。

$4n^2 = (2n)^2$ であり、$2n+1$ より $2n = (2n+1) - 1$ であるから、$2n$ と $1$ は互いに素。

$4n^2 = (2n)^2 = ((2n+1) - 1)^2 = (2n+1)^2 - 2(2n+1) + 1$ となる。

$d$ は $n^2$ と $2n+1$ を割り切るので、$4n^2$ と $2n+1$ を割り切る。

したがって、$d$ は $4n^2 - ((2n+1)^2 - 2(2n+1) + 1) = (2n+1)^2 - 2(2n+1) + 1 - ((2n+1)^2 - 2(2n+1) + 1) = 1$ を割り切る。

よって、$d = 1$ となるので、$n^2$ と $2n+1$ は互いに素である。

(2) $n^2+2$ が $2n+1$ の倍数になる $n$ を求める。

$n^2+2 = k(2n+1)$ （$k$は整数）と表せる。

$4(n^2+2) = 4n^2 + 8$

$4n^2+8 = (2n)^2 + 8$ であり、$(2n+1)^2 = 4n^2+4n+1$ より $4n^2 = (2n+1)^2 - 4n - 1 = (2n+1)^2 - 2(2n+1) + 1$

したがって、

$4n^2 + 8 = (2n+1)^2 - 2(2n+1) + 1 + 8 = (2n+1)^2 - 2(2n+1) + 9$

$4(n^2+2) = l(2n+1)$ （$l$は整数）と表せるので、

$(2n+1)^2 - 2(2n+1) + 9 = l(2n+1)$

$(2n+1)^2 - 2(2n+1) - l(2n+1) = -9$

$(2n+1)^2 - (2+l)(2n+1) = -9$

$(2n+1)(2n+1 - (2+l)) = -9$

$(2n+1)(2n-1-l) = -9$

$2n+1$ は奇数であるから、$2n+1$ は $-9, -3, -1, 1, 3, 9$ のいずれかである。

$2n+1 = -9$ のとき、$n = -5$

$2n+1 = -3$ のとき、$n = -2$

$2n+1 = -1$ のとき、$n = -1$

$2n+1 = 1$ のとき、$n = 0$

$2n+1 = 3$ のとき、$n = 1$

$2n+1 = 9$ のとき、$n = 4$

$n=-5$ のとき、$n^2+2 = 27$, $2n+1 = -9$, $27 = -3(-9)$ なので、$2n+1$ の倍数である。

$n=-2$ のとき、$n^2+2 = 6$, $2n+1 = -3$, $6 = -2(-3)$ なので、$2n+1$ の倍数である。

$n=-1$ のとき、$n^2+2 = 3$, $2n+1 = -1$, $3 = -3(-1)$ なので、$2n+1$ の倍数である。

$n=0$ のとき、$n^2+2 = 2$, $2n+1 = 1$, $2 = 2(1)$ なので、$2n+1$ の倍数である。

$n=1$ のとき、$n^2+2 = 3$, $2n+1 = 3$, $3 = 1(3)$ なので、$2n+1$ の倍数である。

$n=4$ のとき、$n^2+2 = 18$, $2n+1 = 9$, $18 = 2(9)$ なので、$2n+1$ の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2$ と $2n+1$ は互いに素である。

(2) $n = -5, -2, -1, 0, 1, 4$