(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の第10項が50, 第25項が-55であるとき、初項 $a_1$ を求めよ。また、$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ が最大になるのは $n$ がいくつのときか求めよ。 (2) 等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{100} = 9009$, $S_{200} = 36036$ であるとき、$\{a_n\}$ の公比を $r$ とすると、$r^{100}$ の値を求めよ。また、$S_{300}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の第10項が50, 第25項が-55であるとき、初項 $a_1$ を求めよ。また、$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ が最大になるのは $n$ がいくつのときか求めよ。

(2) 等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{100} = 9009$, $S_{200} = 36036$ であるとき、$\{a_n\}$ の公比を $r$ とすると、$r^{100}$ の値を求めよ。また、$S_{300}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

第10項が50であることから、

$a_{10} = a_1 + 9d = 50$

第25項が-55であることから、

$a_{25} = a_1 + 24d = -55$

この2式を連立して $a_1$ と $d$ を求める。

2つの式を引き算すると、

$(a_1 + 24d) - (a_1 + 9d) = -55 - 50$

$15d = -105$

$d = -7$

$a_1 + 9(-7) = 50$

$a_1 - 63 = 50$

$a_1 = 113$

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(226 + (n-1)(-7)) = \frac{n}{2}(-7n + 233)$

$S_n = \frac{n}{2}(-7n+233) = \frac{1}{2}(-7n^2+233n)$

$S_n$ が最大になるのは、二次関数の頂点の $n$ 座標を求めれば良い。

$S_n = -\frac{7}{2}(n^2 - \frac{233}{7}n) = -\frac{7}{2}((n-\frac{233}{14})^2 - (\frac{233}{14})^2)$

$S_n$ が最大になるのは $n = \frac{233}{14} \approx 16.64$ のときなので、$n$ が整数のとき、$n = 16$ または $n = 17$ のとき。

$S_{16} = \frac{16}{2}(-7(16)+233) = 8(-112+233) = 8(121) = 968$

$S_{17} = \frac{17}{2}(-7(17)+233) = \frac{17}{2}(-119+233) = \frac{17}{2}(114) = 17(57) = 969$

$S_{17} > S_{16}$ なので、$S_n$ が最大になるのは $n = 17$ のとき。

(2)

等比数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$, 公比を $r$ とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S_{100} = \frac{a(1-r^{100})}{1-r} = 9009$

$S_{200} = \frac{a(1-r^{200})}{1-r} = 36036$

$S_{200} = \frac{a(1-r^{200})}{1-r} = \frac{a(1-r^{100})(1+r^{100})}{1-r} = S_{100}(1+r^{100}) = 36036$

$9009(1+r^{100}) = 36036$

$1+r^{100} = \frac{36036}{9009} = 4$

$r^{100} = 3$

$S_{300} = \frac{a(1-r^{300})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{100})^3)}{1-r} = \frac{a(1-3^3)}{1-r} = \frac{a(1-27)}{1-r} = \frac{-26a}{1-r}$

$S_{300} = \frac{a(1-r^{300})}{1-r} = \frac{a(1-r^{100})(1+r^{100}+r^{200})}{1-r} = S_{100}(1+r^{100}+r^{200}) = 9009(1+3+3^2) = 9009(1+3+9) = 9009(13) = 117117$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 113$, $n = 17$

(2) $r^{100} = 3$, $S_{300} = 117117$