8人の生徒を以下の3つの場合に分けて、分け方がそれぞれ何通りあるかを求める問題です。 (1) 4人ずつA, Bの2組に分ける (2) 4人ずつ2組に分ける (3) 5人, 3人の2組に分ける

1. 問題の内容

8人の生徒を以下の3つの場合に分けて、分け方がそれぞれ何通りあるかを求める問題です。

(1) 4人ずつA, Bの2組に分ける

(2) 4人ずつ2組に分ける

(3) 5人, 3人の2組に分ける

2. 解き方の手順

(1) 4人ずつA, Bの2組に分ける場合

まず、8人からA組の4人を選ぶ組み合わせを計算します。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。ここで、$n=8$、$r=4$ です。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(2) 4人ずつ2組に分ける場合

まず、8人から最初の4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4 = 70$ 通りです。しかし、組に区別がないため、選んだ4人と残りの4人の組は同じものとして数えられます。したがって、2で割る必要があります。

$\frac{_8C_4}{2!} = \frac{70}{2} = 35$

(3) 5人, 3人の2組に分ける場合

8人から5人を選ぶ組み合わせを計算します。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。ここで、$n=8$、$r=5$ です。

$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

または、8人から3人を選ぶ組み合わせで計算しても同じ結果になります。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

3. 最終的な答え

(1) 70通り

(2) 35通り

(3) 56通り