図のようにAからFの6つの場所に1から順に自然数を書いていく。 (1) 1000はAからFのどこに入るか。 (2) Bにある数とEにある数から1つずつ選んで加えると、和はAにある数になることを文字を使って説明せよ。

1. 問題の内容

図のようにAからFの6つの場所に1から順に自然数を書いていく。

(1) 1000はAからFのどこに入るか。

(2) Bにある数とEにある数から1つずつ選んで加えると、和はAにある数になることを文字を使って説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 1000を6で割った余りを考える。

$1000 \div 6 = 166 \cdots 4$

余りが4なので、A, B, C, D, E, Fの順番に4番目のDに入る。

(2)

Aにある数は、6で割ると1余る数なので、$6n+1$と表せる。ただし、$n$は0以上の整数。

Bにある数は、6で割ると2余る数なので、$6m+2$と表せる。ただし、$m$は0以上の整数。

Eにある数は、6で割ると5余る数なので、$6k+5$と表せる。ただし、$k$は0以上の整数。

Bにある数$6m+2$とEにある数$6k+5$の和は、

$(6m+2) + (6k+5) = 6m+6k+7 = 6(m+k+1)+1$

$m+k+1$は整数なので、$6(m+k+1)+1$は6で割ると1余る数である。

これはAにある数を表す式$6n+1$において、$n=m+k+1$とおいたものと一致する。

したがって、Bにある数とEにある数から1つずつ選んで加えると、和はAにある数になる。

3. 最終的な答え

(1) D

(2) Aにある数は$6n+1$、Bにある数は$6m+2$、Eにある数は$6k+5$と表せる。Bにある数とEにある数の和は$(6m+2)+(6k+5)=6(m+k+1)+1$となり、Aにある数になる。