864をできるだけ小さい自然数で割って、その商がある自然数の3乗になるようにします。このとき、 (1) 864をどんな自然数で割ればよいか。 (2) その商はどんな数の3乗になるか。

## 回答

1. 問題の内容

864をできるだけ小さい自然数で割って、その商がある自然数の3乗になるようにします。このとき、

(1) 864をどんな自然数で割ればよいか。

(2) その商はどんな数の3乗になるか。

2. 解き方の手順

(1) 864を素因数分解します。

$864 = 2^5 \times 3^3$

商が自然数の3乗になるためには、指数がすべて3の倍数である必要があります。

$2^5$の指数5を3の倍数にするには、少なくとも$2^2$で割る必要があります。

$3^3$の指数はすでに3の倍数なので、そのままにします。

したがって、864を$2^2 = 4$で割ると、商は$2^3 \times 3^3$となり、これはある自然数の3乗になります。

よって、864を4で割れば良い。

(2) (1)で求めた自然数で864を割ったときの商を計算します。

$864 \div 4 = 216$

216はどんな数の3乗になるか調べます。

$216 = 6^3$

したがって、商は6の3乗になります。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 6