この問題は2つの部分から構成されています。 (1) 1円、3円、5円...という奇数金額のコインを使って、合計$n$円を支払う場合の組み合わせの総数を$OP_n$と定義します。$OP_5 = 3$という例が与えられています。$OP_{11}$を求める問題です。 (2) 1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2組作った時、それらの数の和が93となる組み合わせが何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は2つの部分から構成されています。

(1) 1円、3円、5円...という奇数金額のコインを使って、合計$n$円を支払う場合の組み合わせの総数を$OP_n$と定義します。$OP_5 = 3$という例が与えられています。$OP_{11}$を求める問題です。

(2) 1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2組作った時、それらの数の和が93となる組み合わせが何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $OP_{11}$を求める。

$OP_{11}$は11円を奇数金額のコインで支払う組み合わせの総数です。以下のように場合分けして考えます。

* 11円 = 1円 x 11枚

* 11円 = 1円 x 8枚 + 3円 x 1枚

* 11円 = 1円 x 5枚 + 3円 x 2枚

* 11円 = 1円 x 2枚 + 3円 x 3枚

* 11円 = 1円 x 6枚 + 5円 x 1枚

* 11円 = 1円 x 3枚 + 3円 x 1枚 + 5円 x 1枚

* 11円 = 3円 x 2枚 + 5円 x 1枚

* 11円 = 1円 x 1枚 + 5円 x 2枚

* 11円 = 3円 x 1枚 + 5円 x 1枚

* 11円 = 1円 x 1枚 + 3円 x 3枚

* 11円 = 1円 x 1枚 + 5円 x 2枚

* 11円 = 11円 x 1枚

したがって、$OP_{11}=12$となります。

(2) 2桁の数の組み合わせを求める。

2桁の2つの数の和が93となる組み合わせを考えます。

$10a + b + 10c + d = 93$となるようなa, b, c, dを考えます。ここでa, b, c, dは1から9までの異なる整数です。

aとcは10の位なので、a+cは8か9となります。

a+c=8の場合、b+d=13となる必要があります。組み合わせを考えると(4,9)(5,8)(6,7)があります。

a+c=9の場合、b+d=3となる必要があります。組み合わせを考えると(1,2)があります。

a+c=8の場合、aとcの組み合わせは(1,7)(2,6)(3,5)(4,4)は不可(5,3)(6,2)(7,1)となります。

b+d=13の場合、bとdの組み合わせは(4,9)(5,8)(6,7)(7,6)(8,5)(9,4)となります。

数字の重複がないように、組み合わせを探します。

例えば、(a,c)=(1,7), (b,d)=(4,9)の場合、14と79, 19と74が考えられます。

(a,c)=(2,6), (b,d)=(4,9)の場合、24と69, 29と64が考えられます。

(a,c)=(3,5), (b,d)=(4,9)の場合、34と59, 39と54が考えられます。

(a,c)=(1,7), (b,d)=(5,8)の場合、15と78, 18と75が考えられます。

(a,c)=(2,6), (b,d)=(5,8)の場合、25と68, 28と65が考えられます。

(a,c)=(3,5), (b,d)=(6,7)の場合、36と57, 37と56が考えられます。

(a,c)=(1,7)と(6,7)はないので、36+57=93,37+56=93, となります。

a+c=9の場合、aとcの組み合わせは(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)(7,2)(8,1)となります。

b+d=3の場合、bとdの組み合わせは(1,2)(2,1)となります。

(a,c)=(4,5), (b,d)=(1,2)の場合、41と52, 42と51が考えられます。

したがって、(36,57), (37,56), (41,52), (42,51)となります。

組み合わせは4通りです。

3. 最終的な答え

$OP_{11} = 6$

2桁の数の組み合わせは4通りです。