一辺の長さが2の正六角形ABCDEFの対角線AD, BE, CFの交点をOとするとき、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求め、$\vec{PB} + 2\vec{PD} + 3\vec{PF} = \vec{0}$を満たす点Pに対して、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、$|\vec{OP}|$を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFの対角線AD, BE, CFの交点をOとするとき、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求め、$\vec{PB} + 2\vec{PD} + 3\vec{PF} = \vec{0}$を満たす点Pに対して、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、$|\vec{OP}|$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求める。

正六角形の一つの内角は120度なので、$\angle AOB = 60^\circ$である。

よって、

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos{60^\circ} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4$

(2) $\vec{PB} + 2\vec{PD} + 3\vec{PF} = \vec{0}$を$\vec{OP}$を用いて書き換える。

$\vec{PB} = \vec{OB} - \vec{OP}$

$\vec{PD} = \vec{OD} - \vec{OP}$

$\vec{PF} = \vec{OF} - \vec{OP}$

したがって、

$(\vec{OB} - \vec{OP}) + 2(\vec{OD} - \vec{OP}) + 3(\vec{OF} - \vec{OP}) = \vec{0}$

$\vec{OB} + 2\vec{OD} + 3\vec{OF} - 6\vec{OP} = \vec{0}$

$6\vec{OP} = \vec{OB} + 2\vec{OD} + 3\vec{OF}$

正六角形の性質から、$\vec{OD} = -\vec{OA}$、$\vec{OF} = \vec{OA} + \vec{OB}$なので、

$6\vec{OP} = \vec{OB} + 2(-\vec{OA}) + 3(\vec{OA} + \vec{OB}) = \vec{OB} - 2\vec{OA} + 3\vec{OA} + 3\vec{OB} = \vec{OA} + 4\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{4}{6}\vec{OB} = \frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

したがって、$\vec{OP} = \frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{4}{6}\vec{OB}$

(3) $|\vec{OP}|$を求める。

$|\vec{OP}|^2 = (\frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}) \cdot (\frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB})$

$= \frac{1}{36}|\vec{OA}|^2 + \frac{4}{18}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{4}{9}|\vec{OB}|^2$

$= \frac{1}{36}(2^2) + \frac{2}{9}(4) + \frac{4}{9}(2^2) = \frac{4}{36} + \frac{8}{9} + \frac{16}{9} = \frac{1}{9} + \frac{24}{9} = \frac{25}{9}$

$|\vec{OP}| = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 4$

$\vec{OP} = \frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{4}{6}\vec{OB} = \frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

$|\vec{OP}| = \frac{5}{3}$