2桁の正の整数Mがある。Mの十の位の数と一の位の数の和をNとする。このとき、$M^2 - N^2$が9の倍数であることを、文字式を使って証明する。

1. 問題の内容

2桁の正の整数Mがある。Mの十の位の数と一の位の数の和をNとする。このとき、$M^2 - N^2$が9の倍数であることを、文字式を使って証明する。

2. 解き方の手順

* Mの十の位の数をa、一の位の数をbとする。ただし、aは1から9までの整数、bは0から9までの整数とする。

* このとき、Mは$10a + b$と表せる。

* NはMの十の位の数と一の位の数の和なので、$N = a + b$と表せる。

* $M^2 - N^2$を計算する。

$M^2 - N^2 = (10a + b)^2 - (a + b)^2$

$= (100a^2 + 20ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)$

$= 99a^2 + 18ab$

$= 9(11a^2 + 2ab)$

* $11a^2 + 2ab$は整数なので、$9(11a^2 + 2ab)$は9の倍数である。

* したがって、$M^2 - N^2$は9の倍数である。

3. 最終的な答え

Mを2桁の正の整数とし、Mの十の位の数をa、一の位の数をbとする。ただし、aは1から9までの整数、bは0から9までの整数とする。このとき、Mは$10a + b$、Nは$a + b$と表せる。

$M^2 - N^2 = (10a + b)^2 - (a + b)^2 = 9(11a^2 + 2ab)$

$11a^2 + 2ab$は整数なので、$9(11a^2 + 2ab)$は9の倍数である。

したがって、$M^2 - N^2$は9の倍数である。