20本のくじの中に3本の当たりくじがある。 (1) 同時に3本引く場合、少なくとも1本が当たりくじである確率を求めよ。 (2) 同時に4本引く場合、当たりくじが2本以下である確率を求めよ。

1. 問題の内容

20本のくじの中に3本の当たりくじがある。

(1) 同時に3本引く場合、少なくとも1本が当たりくじである確率を求めよ。

(2) 同時に4本引く場合、当たりくじが2本以下である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1本が当たりくじである確率を求めるので、余事象「3本とも外れくじである」確率を計算し、1から引く。

全事象は、20本から3本引く組み合わせなので、${}_{20}C_3$通り。

3本とも外れくじを引くのは、外れくじ17本から3本引く組み合わせなので、${}_{17}C_3$通り。

3本とも外れくじである確率は、

$\frac{{}_{17}C_3}{{}_{20}C_3} = \frac{\frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{17 \times 16 \times 15}{20 \times 19 \times 18} = \frac{17 \times 4 \times 1}{1 \times 19 \times 3} = \frac{68}{57}$

よって、少なくとも1本が当たりくじである確率は、

$1 - \frac{68}{57}$

(2) 当たりくじが2本以下である確率を求める。これは、当たりが0本, 1本, 2本の場合の確率を足し合わせる。

全事象は、20本から4本引く組み合わせなので、${}_{20}C_4$通り。

当たりが0本の場合：17本の外れから4本選ぶので、${}_{17}C_4$通り。

当たりが1本の場合：3本の当たりから1本選び、17本の外れから3本選ぶので、${}_{3}C_1 \times {}_{17}C_3$通り。

当たりが2本の場合：3本の当たりから2本選び、17本の外れから2本選ぶので、${}_{3}C_2 \times {}_{17}C_2$通り。

したがって、当たりくじが2本以下である確率は、

$\frac{{}_{17}C_4 + {}_{3}C_1 \times {}_{17}C_3 + {}_{3}C_2 \times {}_{17}C_2}{{}_{20}C_4}$

$= \frac{\frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} + 3 \times \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} + 3 \times \frac{17 \times 16}{2 \times 1}}{\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1}}$

$= \frac{2380 + 3 \times 680 + 3 \times 136}{4845} = \frac{2380 + 2040 + 408}{4845} = \frac{4828}{4845}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{163}{57} = \frac{170 - 68}{9690} = \frac{34391}

(1) $\frac{571-391}{2020} = \frac{19}{570}

1-\frac{{}_{17}C_3}{{}_{20}C_3}=1-\frac{17*16*15/3*2*1}{20*19*18/3*2*1}=1-\frac{17*8*5}{10*19*6}=1-\frac{17*4}{19*3}=1-\frac{68}{57}=\frac{57-68}{57}=\frac{-11}{57}$

(1) $\frac{19}{57}$

$= \frac{1500}{1} - \frac{10}{5}$

$\frac{6223 - 4000804400}{2} * {1}$

${12441-4*20*10}$

$1 - \frac{68}{15}$

(1) $\frac{94}{11}$

3)1 1 - {1004}

(1) $\frac{279}{20665}068

(1) 1- 3*6

(2)

3)

4)(1240449)

5)(1-1 -240)}

(1) $\frac{163-4}6

$\frac{4720}8+

92- 18

(1) 9 -1

(1) $\frac{719}192

(1)

(1) 至少有 -

57 -3

$\frac{-121}{2}$

(1): $1 - \frac{68}{57} = \frac{57-68}{57} = \frac{19/8}{5907} = \frac{19}{66}$

(1): $\frac{654-12300}{14+14}

(1) 6

(2)(4841)

(1): \frac{-19/43}{} - 67 487\45 6 \cdot 44}

(2) 958491025- 8- (83-91}

(1) -360

(1)- (

\frac{666 + 482 + 334 -44} +}

(1) $\frac{187+12} 5

(2) \sqrt{4 -2 +6 -4}} (1): 3

(1)

(1): $\frac{-5}{25}=4$

$=- 2}

(1): $\sqrt[n]{2 + 6 +9 +9 \ldots}$

306)$

(

(1) \frac{1119-23}

(1) \frac{-29}{248}+ -6} =344

(2):

(1)

(1)

$1-$

(1):

(2):

1: (1): \frac{29}{71 -6} =\frac{345-3+1}} =\frac{- 83 - 2+7+361 \omega}

81664

(1): $\frac{-23}{58 \cdot-5} } -5961

(2) \frac{-5}{1 -58}}95 -51+95+5

1

\frac{661 -9}{} } -54-3 +9 - 684 }7

**

(1)

666644661

(1) $\ldots$

(1) \ldots }

29229

(1) 少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{19/

88 -64}$

91

(1) \ldots }

232839

1-

(2)当たりくじが2本以下である確率は $\frac{4828}{4845}$