全体で4%が不良品である大量の製品から、無作為に600個の製品を抽出する。不良品の標本比率を$R$とするとき、$0.032 \le R \le 0.048$となる確率を求める。

1. 問題の内容

全体で4%が不良品である大量の製品から、無作為に600個の製品を抽出する。不良品の標本比率を$R$とするとき、$0.032 \le R \le 0.048$となる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、$R$の平均$\mu$と標準偏差$\sigma$を求める。

母比率$p = 0.04$、サンプルサイズ$n = 600$であるから、

$\mu = p = 0.04$

$\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.04(1-0.04)}{600}} = \sqrt{\frac{0.04 \times 0.96}{600}} = \sqrt{\frac{0.0384}{600}} = \sqrt{0.000064} = 0.008$

次に、$R$を標準化する。$Z = \frac{R - \mu}{\sigma}$

$R = 0.032$のとき、$Z_1 = \frac{0.032 - 0.04}{0.008} = \frac{-0.008}{0.008} = -1$

$R = 0.048$のとき、$Z_2 = \frac{0.048 - 0.04}{0.008} = \frac{0.008}{0.008} = 1$

求める確率は、$P(0.032 \le R \le 0.048) = P(-1 \le Z \le 1)$となる。

標準正規分布表から、$P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$

3. 最終的な答え

$0.6826$